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Die Gudermann-Funktion mit ihren Asymptoten ${displaystyle scriptstyle {y=pm {frac {pi}{2}}}}$ in grau.

Die inverse Gudermmann-Funktion.

Das Gudermann-Funktion, benannt nach Christoph Gudermann (1798 - 1852), verbindet die trigonometrische Funktionen und der hyperbolische Funktionen ohne explizite Verwendung von komplexe Zahlen.

Die Gudermann-Funktion ist definiert als:

${displaystyle mathrm {gd} (x)=int _{0}^{x}{frac {mathrm {d} p}{cosh(p)}}}$

Eigenschaften

Äquivalente Definitionen sind:

${displaystyle { egin{aligned}{mathrm {gd} }(x)&=arcsin( anh(x))=arccos(mathrm {sech} (x))/&=arctan(sinh(x))=mathrm {arcsec } (cosh(x))/&=mathrm {arccot} (mathrm {csch} (x))=mathrm {arccsc} (coth(x))/&=2arctan( anh({ frac {1}{2}} x))=2arctan(e^{x})-{ frac {1}{2}}pi end{ausgerichtet}}}$

Die Gudermann-Funktion erfüllt die folgende Gleichheit:

${displaystyle { egin{aligned}sin(mathrm {gd} (x))&= anh(x);quad cos(mathrm {gd} (x))=mathrm {sech} (x);/ an(mathrm {gd } (x))&=sinh(x);Quad ;sec(mathrm {gd} (x))=cosh(x);/cot(mathrm {gd} (x))&=mathrm {csch} (x) ;quad csc(mathrm {gd} (x))=coth(x);/ an({ frac {1}{2}}mathrm {gd} (x))&= anh({ frac {1}{2} }x).end{ausgerichtet}}}$

Invers

Das invers Die Gudermann-Funktion ist gegeben durch:

${displaystyle { egin{aligned}mathrm {arcgd} (x)&={mathrm {gd} }^{-1}(x)=int _{0}^{x}{frac {mathrm {d} p}{ cos(p)}}/&=mathrm {arcosh} (sec(x))=mathrm {arctanh} (sin(x))/&=ln(sec(x)(1 sin(x))))/& = ln( an(x) sec(x))=ln an({ frac {1}{4}}pi { frac {1}{2}}x)/&={ frac {1}{2}}ln { frac {1 sin(x)}{1-sin(x)}}end{ausgerichtet}}}$

Derivat

Das Derivate der Gudermann-Funktion und ihrer Umkehrung sind:

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}mathrm {gd} (x)={frac {1}{mathrm {cosh} (x)}};Quad {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}mathrm {arcgd} (x)={frac {1}{cos(x)}}.}$

Siehe auch

• Loxodrome
• Mercator-Projektion