WikiDer > Теорема Адамара о трех кругах

В комплексный анализ, филиал математика, тоТеорема Адамара о трех кругах является результатом поведения голоморфные функции.

Позволять ${ displaystyle f (z)}$ - голоморфная функция на кольцо

${ displaystyle r_ {1} leq left | z right | leq r_ {3}.}$

Позволять ${ Displaystyle М (г)}$ быть максимум из ${ Displaystyle | е (г) |}$ на круг ${ displaystyle | z | = r.}$ Потом, ${ Displaystyle журнал М (г)}$ это выпуклая функция из логарифм ${ displaystyle log (r).}$ Более того, если ${ displaystyle f (z)}$ не в форме ${ displaystyle cz ^ { lambda}}$ для некоторых константы ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle c}$, тогда ${ Displaystyle журнал М (г)}$ строго выпукла как функция ${ displaystyle log (r).}$

Заключение теорема можно переформулировать как

${ displaystyle log left ({ frac {r_ {3}} {r_ {1}}} right) log M (r_ {2}) leq log left ({ frac {r_ {3) }} {r_ {2}}} right) log M (r_ {1}) + log left ({ frac {r_ {2}} {r_ {1}}} right) log M ( г_ {3})}$

для любых трех концентрические круги радиусов ${ displaystyle r_ {1}$

История

Утверждение и доказательство теоремы были даны Дж. Э. Литтлвуд в 1912 году, но он никому не приписывает ее, сформулировав ее как известную теорему. Харальд Бор и Эдмунд Ландау приписать теорему Жак Адамар, сочинение 1896 г .; Адамар не опубликовал никаких доказательств.^[1]

Доказательство

Теорема трех кругов следует из того факта, что для любого действительного а, функция Re log (z^аж(z)) гармонична между двумя окружностями и поэтому принимает максимальное значение на одной из окружностей. Теорема следует из выбора постоянной а так что это гармоническая функция имеет одинаковое максимальное значение на обоих кругах.

Теорема также может быть выведена непосредственно из Теорема Адамара о трех линиях.^[2]

Смотрите также

• Принцип максимума
• Логарифмически выпуклая функция
• Теорема Харди
• Теорема Адамара о трех линиях
• Теорема Бореля – Каратеодори.
• Принцип Фрагмена – Линделёфа

Примечания

Рекомендации

• Эдвардс, Х. (1974), Дзета-функция Римана, Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
• Литтлвуд, Дж. Э. (1912), «Квелкес следствия гипотезы о функции ζ (s) Римана без па-де-нулей в полу-плане Re (s)> 1/2», Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 154: 263–266
• Э. К. Титчмарш, Теория дзета-функции Римана, (1951) Оксфорд в Clarendon Press, Оксфорд. (См. Главу 14)
• Ульрих, Дэвид К. (2008), Сложное стало простым, Аспирантура по математике, 97, Американское математическое общество, стр. 386–387, ISBN 0821844792

Эта статья включает материал из теоремы Адамара о трех кругах о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

внешняя ссылка

• «доказательство теоремы Адамара о трех кругах». PlanetMath.