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EIN Hankel-Matrix ist ein symmetrische Matrix mit konstanten Antidiagonalen ("schräge Linien", die "senkrecht" zur Hauptdiagonale verlaufen).

Beispiel für eine Hankel-Matrix:

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2&5/2&5&8/5&8&3end{bmatrix}}}$

Eine Hankel-Matrix wird vollständig durch die Elemente in der ersten und letzten Zeile bzw. der letzten Spalte beschrieben; in diesem Fall durch die Zahlenreihen (1,2,5) und (5,8,3), wobei das erste Element der zweiten Zahlenreihe eigentlich überflüssig ist.

Für das Element in Zeile ${Anzeigestil i}$ und Spalte ${Anzeigestil j}$ einer Hankel-Matrix gilt:

${Anzeigestil a(i,j)=a(i-1,j 1)}$

oder anders ausgedrückt: Jedes Element ist gleich dem Element, das oben rechts angezeigt wird.

Eine Hankel-Matrix ist eng verwandt mit a Toeplitz-Matrix (wobei die Hauptdiagonalen Konstante). Eine Hankel-Matrix ist eine umgedrehte Toeplitz-Matrix.

EIN hilbert-matrix ist ein Spezialfall einer Hankel-Matrix; die Werte in der ersten Zeile und letzten Spalte einer Hilbert-Matrix sind die Brüche 1, 1/2, 1/3, 1/4 usw.

Als Erweiterung wird der Begriff der Hankel-Matrix auch auf nicht-quadratische Matrizen angewendet, zum Beispiel:

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2&3&4&5/2&3&4&5&6/3&4&5&6&7/4&5&6&7&8/end{bmatrix}}}$

Die Hankel-Matrix ist benannt nach Hermann Hankel.

Hankel-Transformation einer Zahlenfolge

Mit einer unendlichen Folge von ganzen Zahlen ${displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3},ldots)}$ man assoziiert die unendliche Hankel-Matrix mit ${displaystyle a_{i j-1}}$ in einer Reihe ${Anzeigestil i}$ und Spalte ${Anzeigestil j}$. Die Hankel-Matrix ${displaystyle H_{n}}$ außer Betrieb ${displaystyle n}$ ist die quadratische Untermatrix mit ${displaystyle n}$ Zeilen in der oberen linken Ecke dieser Matrix:

${displaystyle H_{n}={ egin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&ldots &a_{n}/a_{2}&a_{3}&ldots &a_{n 1}/vdots &vdots &ddots &vdots /a_{n} &a_{n 1}&ldots &a_{2n-1}/end{bmatrix}}}$

Das bestimmend von ${displaystyle H_{n}}$ heißt die hungrige Determinante ${displaystyle h_{n}}$ außer Betrieb ${Anzeigestil n.}$

Die Reihe ${displaystyle (h_{1},h_{2},h_{3},ldots)}$ heißt der Hankel-Transformation von ${Anzeigestil A}$.^[1]

Wendet man dies zum Beispiel auf die Serie an katalanische zahlen, {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...} erhält man die Folge {1, 1, 1, 1, ...} als Hankel-Transformation. Dies ist nicht die einzige Serie mit dieser Funktion; andere sind zum Beispiel Reihe A055877, A055878 oder A055879 im OEIS.

Es kann bewiesen werden, dass für jede Zahlenfolge ihre Hankel-Transformation identisch ist mit der Hankel-Transformation der Binomialtransformation dieser Serie^[2]. Zum Beispiel ist die Binomialtransformation der katalanischen Zahlen {1, 2, 5, 15, 51, 188, 731, ...} (Zeile A007317 im OEIS).

Fußnoten