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EIN Toeplitz-Matrix, benannt nach Otto Toeplitz, ist ein Matrix mit konstanten Werten auf dem Hauptdiagonale und die Diagonalen parallel dazu. Dies bedeutet, dass das Element ${displaystyle t_{i,j}}$ im Einklang ${Anzeigestil i}$ und Spalte ${Anzeigestil j}$ entspricht dem Element unten rechts und im Allgemeinen dem Element ${displaystyle t_{i k,j k}}$ für alle positiven Werte von ${Anzeigestil k.}$

Beispiel für eine Toeplitz-Matrix:

${displaystyle { egin{bmatrix}a&b&c&d&e/f&a&b&c&d/g&f&a&b&c/h&g&f&a&b/i&h&g&f&aend{bmatrix}}}$

Eine Toeplitz-Matrix wird vollständig durch die erste Zeile und die erste Spalte bestimmt.

Beziehung zu Polynomen

Die Koeffizienten von a Polynommultiplikation von

${displaystyle a=a_{1} a_{2}x ldots a_{m}x^{m-1}}$

und

${displaystyle b=b_{1} b_{2}x ldots b_{n}x^{n-1}}$

sind die Elemente der Vektor welches das Produkt der Matrixmultiplikation einer Toeplitz-Matrix mit dem durch die Polynomkoeffizienten gebildeten Vektor ist vector ${Anzeigestil b:}$

${displaystyle c=ab={ egin{matrix}{ egin{bmatrix}a_{1}&0&ldots &0&0/a_{2}&a_{1}&ldots &vdots &vdots /a_{3}&a_{2}&ldots &0&0/vdots &a_{3 }&ldots &a_{1}&0/a_{m-1}&vdots &ldots &a_{2}&a_{1}/a_{m}&a_{m-1}&vdots &vdots &a_{2}/0&a_{m}&ldots &a_{m -2}&vdots /0&0&ldots &a_{m-1}&a_{m-2}/vdots &vdots &vdots &a_{m}&a_{m-1}/0&0&0&ldots &a_{m}/end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}b_ {1}/b_{2}/vdots /b_{n-1}/b_{n}/end{bmatrix}}/end{matrix}}}$

Dies entspricht der Berechnung der Faltung aus zwei Zahlenreihen. Die Toeplitz-Matrix ist hier eins Bandmatrix: nur die Elemente auf der Hauptdiagonale und einige Diagonalen darüber oder darunter sind von Null verschieden. Oben rechts und unten links dieser Diagonalen besteht die Matrix nur aus Nullen.

Für diese und andere Operationen mit Toeplitz-Matrizen, effizient Algorithmen. Dies ist zum Beispiel der Fall für die Lösung von a lineares Gleichungssystem (in Matrixform)

${displaystyle Ax=b}$

wann ${Anzeigestil A}$ ist eine Toeplitz-Matrix. Solche Systeme tauchen beispielsweise im digitalen Signalverarbeitung (Spracherkennung und derartige).

Zyklische Matrix

Ein Spezialfall einer Toeplitz-Matrix ist a zyklische Matrix. Dies ist eine Matrix, bei der jede Zeile der Zeile darüber entspricht, jedoch um ein Element nach rechts gedreht:

${displaystyle { egin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&dots &c_{2}&c_{1}/c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}/vdots &c_{1 }&c_{0}&ddots &vdots /c_{n-2}&&ddots &ddots &c_{n-1}/c_{n-1}&c_{n-2}&dots &c_{1}&c_{0}/end{bmatrix}} }$

Eine solche zyklische Matrix wird vollständig durch die erste Spalte (oder Zeile) bestimmt; jede nachfolgende Spalte ist ein zyklischer Permutation der vorherigen Spalte (oder Zeile). Zum Beispiel sind zyklische Matrizen bei der Anwendung nützlich diskrete Fourier-Transformation (DFT) in einer Zahlenreihe: de Eigenwerte der zyklischen Matrix mit dieser Zahlenreihe als erste Reihe bilden die DFT dieser Reihe. Mit anderen Worten, die erste Zeile einer zyklischen Matrix ist die inverse DFT der Eigenwerte dieser Matrix^[1].

Siehe auch

• Hankel-Matrix, wobei jedes Element gleich dem Element oben rechts und nicht unten rechts ist.

Fußnoten