WikiDer > Symmetrische Matrix

EIN symmetrische Matrix ist in der Lineare Algebra ein quadratische Matrix Das symmetrisch ist relativ zu dem Hauptdiagonale. Eine symmetrische Matrix ist gleich ihrer transponiert.

Definition

EIN quadratische Matrix${Anzeigestil A}$ wird genannt symmetrisch wenn

${Displaystil A^{ auf }=A}$

oder in Bezug auf die Elemente, wie für alle ${displaystyle r}$ und ${displaystyle k}$ zählt das

${displaystyle a_{rk}=a_{kr}}$

Eigenschaften

Das lineares Bild bestimmt durch eine symmetrische Matrix hat a Orthonormalbasis von Eigenvektoren. Das charakteristisches Polynom hat dann nur echte Lösungen. Eine symmetrische Matrix ist also orthogonal diagonalisierbar. Nehmen wir doch einmal an, dass ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ Eigenvektoren sind unterschiedlich Eigenwerte λ bzw. μ der symmetrischen Matrix ${Anzeigestil A}$, als:

${displaystyle lambda mu langle x,yangle =langle lambda x,mu yangle =langle Ax,Ayangle =langle x,A^{ op }Ayangle =mu ^{2}langle x,yangle }$

weil ${ Anzeigestil Lambda eq mu }$ dies ist nur möglich, wenn:

${displaystyle langle x,yangle =0}$

Beispiel

Beispiele für symmetrische Matrizen sind:

${displaystyle { egin{bmatrix}0&5&-1{,}7/5&16&3/-1{,}7&3&5end{bmatrix}},{ egin{bmatrix}8&2&9{,}8&-47/2&0&-24&7/9{,}8& -24&82&3{,}142/-47&7&3{,}142&-35end{bmatrix}}}$

Eine besondere Art der symmetrischen Matrix ist a diagonale Matrix, von denen die Einheitenmatrix ist ein einfaches Beispiel.

Siehe auch

• Hermitesche Matrix
• Antisymmetrische Matrix
• Orthogonale Matrix
• symmetrischer Tensor