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Schematische Darstellung der Heaviside-Funktion

Das Heavyside-Funktion oder schwere Schrittfunktion${Anzeigestil H}$ ist eine Stufenfunktion, erstellt vom englischen Ingenieur Oliver Heaviside, die definiert ist als:

${displaystyle H(x)={ egin{cases}0&{mbox{for }}x<0//1&{mbox{for }}xgeq 0end{cases}}}$

Anstatt von ${Anzeigestil H(x)}$ steht auch geschrieben ${Anzeigestil 1(x),Theta(x)}$ oder manchmal ${Anzeigestil Gamma(x)}$ (wo dies nicht zu Verwechslungen mit dem Gamma-Funktion).

In dem Systemtheorie ist die notation ${Anzeigestil u(t)}$ gewöhnlich.

Die Heavyside-Funktion kann als das Integral der dirac impuls${Anzeigestil-Delta(t)}$:

${displaystyle H(x)=int _{-infty}^{x}delta (t),mathrm {d} t}$

Diese Funktion ist integrale Transformationen und Steuerungstechnik benutzt.

Verwendung mit stückweisen Funktionen

Eine Differenz von zwei Heavyside-Funktionen kann verwendet werden, um ein Blocksignal zu definieren (Impuls) :

${displaystyle H(x)-H(x-a)={ egin{cases}1&{mbox{for }}0leq x$

Dies ermöglicht es, stückweise Funktionen in einer Zeile zu schreiben und sie in eine geeignete Form zu bringen, die von den Laplace-Transformation. Nehmen wir zum Beispiel das Signal

${displaystyle f(t)={ egin{cases}0&{mbox{for }}t<0//{ frac {1}{2}}t&{mbox{for }}0leq t<4 {mbox{en}} //2&{mbox{for }}tgeq 4end{cases}}}$

Dies kann geschrieben werden als:

${displaystyle f(t)={ frac {1}{2}}t [H(t)-H(t-4)] 2H(t-4)}$

Verwenden von

${displaystyle {mathcal {L}}{H(t-a)}(s)={ frac {1}{s}}e^{-axis}}$

und

${displaystyle {mathcal {L}}{tf(t)}(s)=-F'(s)}$

folgt dem laplace-transformiert:

${displaystyle F(s)={frac {1-e^{-4s}}{2s^{2}}}}$

Alternative

Aus Symmetriegründen ist der Wert für value ${Anzeigestil x=0}$ auch ½ gewählt (oder sogar unbestimmt gelassen, wo es nicht wichtig ist):

${displaystyle H(x)={ egin{cases}0&{mbox{for }}x<0/{frac {1}{2}}&{mbox{for }}x=0/1&{mbox{for }} x>0end{cases}}}$