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Gammafunktionsgraph ${Anzeigestil Gamma(x)}$ für reelle Zahlen ${displaystyle xin(-5.5)}$

In dem Mathematik ist der Gamma-Funktion, dargestellt durch den griechischen Großbuchstaben ${Anzeigestil Gamma }$, ein Spezialfunktion Das hier analytische Fortsetzung Formen der Fakultät zum Real und komplexe Zahlen. Für eine komplexe Zahl ${Anzeigestil z}$ mit einem positiven echter teil die Gammafunktion ist definiert durch

${displaystyle Gamma (z)=int _{0}^{infty }t^{z-1}e^{-t}mathrm {d} t}$

Dieses Integral- ist konvergent, wenn der wahre Teil von ${Anzeigestil z}$ größer als 0 ist. Die Definition kann durch analytische Fortsetzung auf den Rest der komplexe Ebene, mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen, die Polen von der Funktion sein.

wenn ${displaystyle n}$ eine positive ganze Zahl ist,

${Anzeigestil Gamma(n)=(n-1)!}$

Dies zeigt sofort die Verbindung zur Fakultät.

Die Gammafunktion spielt bei mehreren eine Rolle role Wahrscheinlichkeitsverteilungen und wird in die gelegt Wahrscheinlichkeit, das Statistik und der Kombinatorik benutzt.

Motivation

Die Gammafunktion kann als Lösung für die Interpolationsproblem:

Gibt es eine glatte Kurve in der Ebene, die durch die Punkte geht? ${Anzeigestil (n,n!)}$, für natürliche Zahlen ${Anzeigestil n>0}$?

Ein Graph der ersten Fakultäten macht es plausibel, dass eine solche Kurve gezeichnet werden kann. Die Frage ist jedoch, ob eine solche Kurve in elementare Funktionen ausgedrückt werden kann, bei der die Anzahl der Operationen nicht abhängig ist von depend ${displaystyle n}$. Die Definition von ${displaystyle n!}$ kann nicht direkt auf Bruchwerte von . erweitert werden ${displaystyle n}$. Jede Kombination von Summen, Produkten, Befugnissen, Exponentialfunktionen oder Logarithmen mit einer festen Anzahl von Begriffen reicht nicht aus, um ${displaystyle n!}$ ausdrücken. Es ist jedoch möglich, eine allgemeine Formel für Fakultäten zu finden, indem man Werkzeuge wie Integrale und Grenzen von dem Differentialrechnung. Eine gute Lösung hierfür ist die Gammafunktion.

Es gibt unendlich viele kontinuierliche Erweiterungen der Fakultätsfunktion auf die nicht-ganzzahligen Zahlen: unendlich viele Kurven können durch jede Menge isolierter Punkte gezeichnet werden. Die Gammafunktion ist dadurch gekennzeichnet, dass sie von 0 über die positiven ganzen Zahlen reicht analytisch liegt daran, dass die Gammafunktion in der Praxis einfach zu handhaben ist und schließlich auf unterschiedliche Weise charakterisiert werden kann.

Definition

Die Gammafunktion in der komplexen Ebene

Für komplexe Zahlen ${Anzeigestil z}$ mit positivem Realteil, ${displaystyle mathrm {Re} (z)>0}$, ist die Gammafunktion

${displaystyle Gamma (z)=int _{0}^{infty }t^{z-1}e^{-t}mathrm {d} t}$

absolut konvergent.

Die Notation ${Anzeigestil Gamma(z)}$ ist durch legendre umgesetzt.

Mit Teilintegration kann das gezeigt werden?

${displaystyle Gamma (z 1)=z,Gamma (z)qquad { ext{(1)}}}$

Diese Funktionsgleichung entspricht der Eigenschaft ${Anzeigestil n!=n(n-1)!}$ der Fakultät. Vor dem ${Anzeigestil Gamma (1)}$ gilt:

${displaystyle Gamma (1)=int _{0}^{infty }e^{-t}mathrm {d} t=left.-e^{-t}ight|_{0}^{infty }=-0 -(-1)=1qquad {ext{(2)}}}$

Kombiniert man diese beiden Ergebnisse mit Induktion dass die Fakultät der reelle Fall der Gammafunktion ist:

${Anzeigestil Gamma (n 1)=n,Gamma (n)=n,(n-1),Gamma (n-1)=ldots =n!,Gamma (1)=n!}$

für alle natürliche Zahlen${displaystyle n}$.

Die Identität (1) kann auch verwendet werden, um ${Anzeigestil Gamma(z)}$ durch Erweiterung der analytischen Fortsetzung auf a meromorphe Funktion, die für alle komplexen Zahlen definiert ist ${Anzeigestil z}$, außer 0 und den negativen ganzen Zahlen. Es kann berechnet werden, dass ${Anzeigestil z=-n}$ ein einfacher Polen mit Rückstand${Anzeigestil (-1)^{n}/n!}$ ist.^[1]

Diese erweiterte Version wird allgemein als Gammafunktion bezeichnet.

Alternative Definitionen

Der nächste unendliches Produkt Definitionen für die Gammafunktion, die jeweils von Leonhard Euler und Karl Weierstraße, gelten für alle komplexen Zahlen ${Anzeigestil z}$, ohne die Pole

${displaystyle { egin{aligned}Gamma (z)&=lim _{no infty }{frac {n!,n^{z}}{z,(z 1)ldots (zn)}}={frac {1} {z}}prod _{n=1}^{infty }{frac {left(1 {frac {1}{n}}ight)^{z}}{1 {frac {z}{n}}}} /Gamma (z)&={frac {e^{-gamma z}}{z}}prod _{n=1}^{infty }left(1 {frac {z}{n}}ight)^{- 1}e^{z/n}Ende{ausgerichtet}}}$

wahr ${Displaystil-Gamma }$ das Euler-Mascheronia-Konstante ist.

Es kann gezeigt werden, dass die Definition von Euler die obige Funktionalgleichung (1) wie folgt erfüllt. Unter der Vorraussetzung, dass ${Anzeigestil z}$ ist ungleich 0, −1, −2, ... gilt:

${displaystyle { egin{aligned}Gamma (z 1)&=lim _{no infty }{frac {n!,n^{z 1}}{(z 1),(z 2)ldots (zn 1)}} /&=lim _{no infty }left(z;{frac {n!,n^{z}}{z,(z 1),(z 2)ldots (zn)}},{frac {n}{ (zn 1)}}ight)/&=z,Gamma (z),lim _{no infty }{frac {n}{zn 1}}/&=z,Gamma (z)end{ausgerichtet}}}$

Auf andere Weise kann gezeigt werden, dass

${displaystyle Gamma (z 1)=int _{0}^{infty }e^{-t^{1/z}}mathrm {d} t}$

• 

  Absolutwert

• 

  echter teil

• 

  Imaginärer Teil

Ansätze

Komplexe Werte der Gammafunktion können mit Näherungsverfahren, wie dem , mit beliebiger Genauigkeit numerisch berechnet werden Stirlingsche Formel oder das Lanczos-Approximationsverfahren.

Die Gamma-Funktion kann beliebig genau genutzt werden ${displaystyle mathrm {Re} (z)in [1,2]}$ werden berechnet, indem eine partielle Integration auf das Euler-Integral angewendet wird. für zufällig ${Anzeigestil x}$ kann geschrieben werden

${displaystyle Gamma (z)=x^{z}e^{-x}sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{z(z 1)ldots (zn)}} int _{x}^{infty}e^{-t}t^{z-1}mathrm {d} t}$

Der Absolutwert des letzten Integrals ist für ${displaystyle xgeq 1}$ weniger als ${Anzeigestil x,exp(-x)}$, und für zufällig ${Displaystil N}$ ist

${displaystyle x,exp(-x)<2^{-N}}$

wenn ${Anzeigestil x}$ groß genug gewählt wird. Somit kann die Gammafunktion mit der obigen Serie beliebig genau ausgewertet werden.

wenn ${Anzeigestil z}$rational d.h. die Berechnung kann mit binärer Zeitaufteilung durchgeführt werden ${Anzeigestil O(log(N))^{2}M(N)}$, in welchem ${Anzeigestil M(N)}$ ist die zeit für zwei ${Displaystil N}$-Bit-Zahlen zu multiplizieren.

Für die Argumente, die Vielfaches von 1/24 kann die Gammafunktion auch mit numerische Methoden berechnet wird.

Da die Gamma- und Fakultätsfunktionen für mäßig große Argumente schnell wachsen, z. Rechner und Tabellenkalkulationen eine Funktion, die natürlicher Logarithmus der Gammafunktion. Das rechnet sich schneller, weil die Logarithmen addiert und subtrahiert werden können, anstatt sehr große Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren. Die Digamma-Funktion, die Derivat des natürlichen Logarithmus der Gammafunktion, wird ebenfalls häufig verwendet.

Im Rahmen technischer und physikalischer Anwendungen, beispielsweise zur Wellenausbreitung, gilt die Funktionsgleichung

${Anzeigestil ln Gamma (z) = ln Gamma (z 1)-ln (z)}$

oft verwendet, denn mit dieser Funktion ist es möglich, aus dem angrenzenden Streifen von Funktionswerten in ${Anzeigestil z}$ in einem Streifen der Breite 1 zu bestimmen. Also ausgehend von einer guten Näherung für große Werte von ${displaystyle |mathrm {Re} (z)|}$, kann man Schritt für Schritt zum gewünschten zurückgehen ${Anzeigestil z}$.Ein Hinweis von Carl Friedrich Gauß nach Rocktaeschel im Jahr 1922 vorgeschlagen groß ${displaystyle |mathrm {Re} (z)|}$ eine Näherung für Lngamma für:

${displaystyle mathrm {Re} (z)={frac {ln(2pi)}{2}} uln u-u}$,

in welchem

${displaystyle u=z-{ frac {1}{2}}}$

Nach dem ${displaystyle m}$ Schritte werden schließlich erreicht (nach P.E. Böhmer (1939))

${displaystyle ln Gamma (z)approx mathrm {Re} (z m)-sum _{k=0}^{m-1}ln(z k)}$

Eine bessere Näherung kann durch asymptotische Entwicklungen von ${Anzeigestil ln Gamma(z)}$ und ${Anzeigestil Gamma(z)}$ werden nach dem Stirling-Näherungsverfahren erhalten.

Geschichte

Die Gamma-Funktion hat die Aufmerksamkeit einiger der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten auf sich gezogen. Die Geschichte der Gammafunktion, die vor allem von Philip J. Davis in einem Artikel dokumentiert wurde, der ihm 1963 den Chauvene-Preis einbrachte, spiegelt viele der wichtigsten Entwicklungen in der Mathematik seit dem 18. Jahrhundert wider. In den Worten von Davis: "Jede Generation hat etwas Wichtiges über die Gammafunktion zu sagen gefunden. Vielleicht wird es die nächste Generation auch."^[2]

18. Jahrhundert: Euler und Stirling

Die erste Seite von Eulers Artikel De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt.

Das Problem der Erweiterung der Fakultätsfunktion auf nicht-ganzzahlige Argumente war anscheinend das erste, das gelöst wurde Daniel Bernoullic und Christian Goldbach betrachtet in den 1720er Jahren und wurde am Ende des gleichen Jahrzehnts von Leonhard Euler. Euler gab zwei unterschiedliche Definitionen: die erste war nicht sein Euler-Integral, sondern a unendliches Produkt,

${displaystyle n!=prod_{k=1}^{infty }{frac {left(1 {frac {1}{k}}ight)^{n}}{1 {frac {n}{k}}} }}$,

über diese Entdeckung informierte er Goldbach in einem Brief vom 13. Oktober 1729. Am 8. Januar 1730 schrieb er erneut an Goldbach, um ihm die integrale Vertretung mitzuteilen

${displaystyle n!=int _{0}^{1}(-log s)^{n},mathrm {d} s}$

was gilt für ${Anzeigestil n>0}$. Wegen der Substitution ${displaystyle t=-log s}$, wird daraus das bekannte Euler-Integral. Euler veröffentlichte seine Ergebnisse in der Arbeit "De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt" ("Über transzendentale Progressionen, d Akademie von Sankt Petersburg am 28.11.1729.^[3][4] Euler entdeckte auch einige der wichtigsten funktionellen Eigenschaften der Gammafunktion, einschließlich der Reflexionsformel.

James Stirling, ein Zeitgenosse Eulers, hat sich ebenfalls an einer kontinuierlichen Ausdruck für die Fakultätsfunktion und entwickelte das, was heute als . bekannt ist Stirlingsche Formel. Obwohl die Stirling-Formel selbst für Nicht-Ganzzahlen eine gute Schätzung von ${displaystyle n!}$ , diese Formel gibt keinen genauen Wert an. Erweiterungen seiner Formel, die den Fehler korrigieren, wurden von Stirling selbst und von Binet gegeben.

19. Jahrhundert: Gauß, Weierstrass und Legendre

Carl Friedrich Gauß schrieb das Euler-Produkt als

${displaystyle Gamma (z)=lim _{m o infty }{frac {m^{z}m!}{z(z 1)(z 2)cdots (z m)}}}$

und nutzte diese Formel, um neue Eigenschaften der Gammafunktion zu entdecken. Obwohl Euler ein Pionier der Funktionentheorie war, scheint er sich keine Gedanken über die Fakultät komplexer Zahlen gemacht zu haben. Gauss tat.^[5] Gauss bewiesen auch den Multiplikationssatz der Gammafunktion und untersuchte den Zusammenhang zwischen der Gammafunktion und elliptische Integrale.

Ausgehend von einer weiteren Darstellung des Produkts, put Karl Weierstraße die Rolle der Gammafunktion in der Funktionstheorie weitere Stärke bei

${displaystyle Gamma (z)={frac {e^{-gamma z}}{z}}prod _{k=1}^{infty }left(1 {frac {z}{k}}ight)^{- 1}e^{z/k}}$,

in welchem 0,577216 das Euler-Mascheronia-Konstante ist. Weierstrass hat sein Produkt ursprünglich als Produkt verschrieben 1/Γ, in diesem Fall wird das Produkt über die Nullstellen der Funktion statt über ihre Pole vererbt. Inspiriert von diesem Ergebnis bewies er den Satz, der als bekannt ist Faktorisierungssatz von Weierstrass, dass jeder gesamte Funktion wenn ein Produkt über seine Nullstellen in der komplexen Ebene geschrieben werden kann.

Name und Symbol der Gammafunktion Γ wurden um 1811 von Legendre eingeführt. Legendre hat auch die Definition des Euler-Integrals in seiner modernen Form umgeschrieben. Obwohl der Grieche Γ ein Großbuchstabe heißt, man schreibt sowohl 'Gamma-Funktion' als auch 'Gamma-Funktion'. Die alternative Pi-Funktion

${Displaystil Pi(z)=z!}$,

von Gauss eingeführt, findet sich manchmal in der älteren Literatur, aber in der modernen Literatur ist Legendres Notation am häufigsten.

Merkwürdig erscheint, dass die Gammafunktion als eine Art Fortsetzung der Fakultät nicht so definiert ist, dass ${Anzeigestil Gamma(n)=n!}$, aber damit

${Anzeigestil Gamma(n 1)=n!}$.

Es ist eine Wahl, die einige Formeln vereinfacht, andere aber komplizierter macht.

19.-20. Jahrhundert: Charakterisierung der Gammafunktion

Etwas problematisch ist, dass eine Vielzahl von Definitionen für die Gammafunktion angegeben wurde. Obwohl sie dieselbe Funktion beschreiben, ist es etwas problematisch, die Äquivalenz der verschiedenen Definitionen zu beweisen. Stirling hat nie bewiesen, dass seine erweiterte Formel exakt der Eulerschen Gammafunktion entspricht, ein Beweis dafür wurde erstmals 1900 von Charles Hermite gegeben.^[6] Anstatt zu versuchen, für jede Formel einen separaten Beweis zu finden, wäre es wünschenswert, eine allgemeine Methode zur Identifizierung der Gammafunktion zu haben.

Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, a zu finden Differentialgleichung die die Gammafunktion charakterisiert. Die meisten speziellen Funktionen in der angewandten Mathematik entstehen als Lösungen von Differentialgleichungen, deren Lösungen eindeutig sind. Die Gammafunktion scheint jedoch keine einfache Differentialgleichung zu erfüllen. Otto Halter bewiesen 1887, dass die Gammafunktion zumindest keine algebraische Differentialgleichung erfüllt, indem sie zeigten, dass eine Lösung einer solchen Gleichung die Wiederholungsformel für die Gammafunktion nicht erfüllen kann. Dieses Ergebnis ist bekannt als Satz von Hölder.

Eine klare und allgemeingültige Charakterisierung der Gammafunktion erfolgte erst 1922. Harald Bohr und Johannes Mollerup bewies dann den Satz, der heute als Bohr-Mollerup-Theorem bekannt ist. Dieser Satz impliziert, dass die Gammafunktion die einzige Fortsetzung der Fakultätsfunktion auf den positiven reellen Zahlen ist, die positiv und logarithmisch konvex ist, d.

Der Satz von Bohr-Mollerup ist nützlich, weil es relativ einfach ist, die logarithmische Konvexität für jede der verschiedenen Formeln zu beweisen, die verwendet werden, um die Gammafunktion zu definieren. Anstatt die Gammafunktion durch eine bestimmte Formel zu definieren, könnte man weiter argumentieren, dass man die Bedingungen des Bohr-Mollerup-Theorems als Definition der Gammafunktion wählen und dann eine beliebige Formel, die diese Bedingungen erfüllt, als Ausgangspunkt für das Studium des Gammas wählen Funktion. Dieser Ansatz wurde von der Gruppe verwendet bourbakisch.

Eigenschaften

Durch die Integration von Teilen ist zu erkennen, dass

${Anzeigestil Gamma(z 1)=z,Gamma(z)}$

Zusammen mit ${Anzeigestil Gamma (1)=1}$ gibt das

${Anzeigestil Gamma(n 1)=n!}$

für alle natürlichen Zahlen ${displaystyle n}$.

Ein weiterer nützlicher Wert der Gammafunktion ist

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{2}}ight)={sqrt {pi }}}$

Mit der Beziehung ${Anzeigestil Gamma(z 1)=z,Gamma(z)}$ kann daraus abgeleitet werden, dass

${displaystyle Gamma (n { frac {1}{2}}) = {frac {(2n)!}{n!cdot 2^{2n}}}{sqrt {pi }}={frac {(2n-1) !!}{2^{n}}}{Quadrat {pi}}}$

für alle natürlichen Zahlen ${displaystyle n}$.

Die Beziehung ${Anzeigestil Gamma(z 1)=z,Gamma(z)}$ kann auch verwendet werden, um die Gammafunktion zu einer analytischen Funktion auf der gesamten komplexen Ebene ohne die nicht positiven ganzen Zahlen fortzusetzen. Diese analytische Fortsetzung, die ihrerseits auch Gammafunktion genannt wird, hat keine Nullen. Vor dem ${Anzeigestil z=-n}$ mit ${displaystyle n}$ eine natürliche Zahl hat die Gammafunktion einen Pol der Ordnung 1 mit Rest

${Displaystyle-Operatorname {Res} (Gamma ,-n)={frac {(-1)^{n}}{n!}}}$

Es gibt noch eine andere Formel für die Gammafunktion, die für alle komplexen Zahlen gilt, die keine ganzen Zahlen kleiner oder gleich sind 0 sein:

${displaystyle Gamma (z)={frac {e^{-gamma z}}{z}}prod _{n=1}^{infty }left(1 {frac {z}{n}}ight)^{- 1}e^{z/n}}$

Darin ist ${Displaystil-Gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Unvollständige Gammafunktion

Das Integral:

${displaystyle gamma (z,,x)=int _{0}^{x}t^{z-1}e^{-t}mathrm {d} t}$,

heißt unvollständige Gammafunktion.

Beta-Funktion

Die Betafunktion ist mit der Gammafunktion verwandt. Es gibt

${displaystyle B(x,y)={frac {Gamma (x)Gamma (y)}{Gamma (x y)}}}$.

Die Betafunktion ist also symmetrisch im ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$.

Verweise

• (und) Emil Artin, The Gamma function, in Exposition by Emil Artin: a selection, History of Mathematics 30. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, 2006.
• (und) WH Drücken Sie, BP Flannery, SA Teukolsky und WT Vetterling. Numerische Rezepte in C, 1988. Abschnitt 6.1., bearbeitet von Cambridge University Press
• NM Temme. Sonderfunktionen in der mathematischen Physik, 1990. Epsilon-Ausgaben 15, Kapitel 2

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