WikiDer > Dirac Delta

Schematische Darstellung der dirac-Funktion. Ein einzelner Dirac-Puls zu dieser Zeit ${Anzeigestil t=0.}$ Die Höhe des Pfeils gibt den Wert des Integrals an, manchmal steht dieser Wert neben der Pfeilspitze im Diagramm.

Die Dirac-Deltafunktion als a Verteilung kann als der Grenzwert von dargestellt werden Warteschlange immer spitzer Normalverteilungen${displaystyle delta _{a}(x)={frac {1}{a{sqrt {pi}}}}e^{-x^{2}/a^{2}}}$als Verbreitung ${displaystyle aightarrow 0}$.

Das dirac delta oder Deltafunktion${Anzeigestil-Delta(x)}$, ebenfalls dirac impuls oder dirac Schub ist eine hypothetische Signal die unendlich kurz und gleichzeitig unendlich hoch ist, so dass die Integral- ist genau gleich 1. Es ist die Derivat des Stufenfunktion. Probenahme (Stichprobe) aus einem Signal kann als Multiplikation mit einem Dirac-Impuls zum gewünschten Zeitpunkt verstanden werden.

In dem Frequenzbereich ist der Dirac-Puls kontinuierlich und erstreckt sich über den gesamten Frequenzbereich. Dies macht den Dirac-Puls theoretisch als Eingangssignal zur Untersuchung der Eigenschaften eines Systems interessant, in der Praxis kann jedoch nur ein Dirac-Puls verwendet werden. sich nähern jetzt sofort Rechteckschwingung von kurzer Dauer und begrenzter Höhe.

Das Dirac-Delta ist kein Funktion aber ein Verteilung oder messen.^[1][2][3] Das Dirac-Delta wurde vom Physiker eingeführt Paul Dirac und definiert als

${displaystyle int _{-infty}^{infty}delta (x)f(x),mathrm {d} x=f(0)}$

oder

${displaystyle int _{-varepsilon}^{varepsilon}delta (x)f(x),mathrm {d} x=f(0)}$.

für alle ${Anzeigestil Varepsilon >0.}$Eine direkte Folge davon ist, dass

${displaystyle int _{-infty }^{infty }delta (x),mathrm {d} x=1}$

Als reelle Funktion außerhalb des Integrals existiert die Delta-Verteilung nicht, kann aber unter anderem als Grenzfall eines Rechtecks ​​mit gegen Null gehender Breite und der Höhe so betrachtet werden, dass Oberfläche = Länge × Breite = 1 bleibt übrig. Die naive Grenze sieht aus wie eine Funktion, die überall null ist, außer im Ursprung, wo sie unendlich wird. Er wird daher oft als vertikaler „Pfeil“ im Ursprung dargestellt. Diese Eigenschaften machen es zum Beispiel sehr gut geeignet, Dichten für Punktpartikel zu definieren.

Der Graph der Deltafunktion hat die ganze Zahl ${Anzeigestil x}$-Achse als Domäne und das Positive ${Anzeigestil y}$-Achse als Bereich. Die Deltafunktion ist keine reguläre Funktion auf dem reale Nummern. ${Anzeigestil f(x)=Delta(x)}$ und ${Anzeigestil g(x)=0}$ sind für alle ${Anzeigestil x}$ ausser für ${Anzeigestil x=0}$ gleich, haben aber unterschiedliche Integrale. Laut der Lebesgue-Theorie zur Integration gilt, dass wenn ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ Funktionen sind das fast überall sind gleich (${Anzeigestil f=g}$), ${displaystyle f}$dann und nur dann ist integrierbar, wenn ${displaystyle g}$ integriert werden können. Die Integrale von ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ sind dann gleich. Für eine genaue Behandlung der Dirac-Delta-Verteilung, Maßtheorie oder Verteilungstheorie.

Die Dirac-Delta-Funktion wird verwendet, um einen Impuls oder ähnliche Abstraktionen als punktförmige elektrische Ladung, Punktmasse oder Punktelektron zu modellieren. Um zum Beispiel die Bewegung eines von einem Schläger getroffenen Balls zu berechnen, kann man den Leistung des Schlägers am Ball durch eine Delta-Funktion. Auf diese Weise wird die Berechnung einfacher und es muss nur der übertragene Impuls berücksichtigt werden und nicht die genaue Energieübertragung.

In der angewandten Mathematik wird die Deltafunktion oft als a schwache Grenze von a Warteschlange Funktionen, die alle einen Peak im Ursprung haben (${Anzeigestil x=0}$) Show. Zum Beispiel eine Reihe Normalverteilungen mit einem Spread gegen Null.

Definition

Die Dirac-Deltafunktion kann grob (heuristisch) kann als Verteilung auf der reellen Achse betrachtet werden, die überall Null ist, außer im Ursprung, wo die Funktion einen unendlichen Wert erhält,

${displaystyle delta (x)={ egin{cases} infty ,&x=0/0,&xeq 0end{cases}}}$

und muss einhalten

${displaystyle int _{-infty }^{infty }delta (x),mathrm {d} x=1}$^[4]

Aber keine echte Funktion kann diese Eigenschaften haben. Die Dirac-Deltafunktion kann genau wie a . sein messen oder Verteilung definiert sein.^[5]

Eigenschaften

• Deltaspitze im Punkt ${displaystyle x=a: int _{-infty }^{infty}delta (x-a)f(x),mathrm {d} x=f(a).}$
• Faltung einer Funktion ${displaystyle f}$ mit Deltafunktion ${Anzeigestil-Delta _{a}(x)=Delta(x-a)}$ im ${Anzeigestil x=a}$ entspricht geometrisch einer Verschiebung über eine Strecke ${Anzeigestil a:}$

${Anzeigestil (f*Delta _{a})(x)=f(x-a)}$

• Das Derivate der Deltafunktion sind definiert durch

${displaystyle int delta ^{(n)}(x)f(x)dx=-int delta ^{(n-1)}(x)f'(x),mathrm {d} x}$

• Die Deltafunktion ist die Ableitung von Heaviside-Step-Funktion${Anzeigestil H:}$

${Anzeigestil Delta (x)={frac {mathrm {d} H(x)}{mathrm {d} x}}}$

• Die Deltafunktion ist a Ein bisschen Verteilung ${Anzeigestil Delta (x) = Delta (-x)}$.
• Vor dem ${displaystyle alpha eq 0}$ ist ${Anzeigestil delta(alpha x)={frac {delta(x)}{|alpha |}}.}$
• Allgemeiner gilt:

${Anzeigestil Delta (g(x))=Summe _{i}{frac {Delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$,

in dem die ${displaystyle x_{i}}$ alle Nullen stammen aus ${Anzeigestil g(x).}$

• Beide Fourier transformiert als die laplace verwandelt einer Deltafunktion sind gleich 1.
• Das Dirac-Delta ist das kontinuierlich Variante des diskretkronecker delta.

Funktionszeilen-Ansätze

Einige Funktionen verhalten sich asymptotisch wie eine Deltafunktion, bleiben aber stetig differenzierbar:

• Normalverteilung; das Wahrscheinlichkeitsdichte des ${Anzeigestil N(0,varepsilon ^{2})}$-Verteilung

${displaystyle {frac {1}{varepsilon }}varphi left({frac {x}{varepsilon }}ight)={frac {1}{sqrt {2pi varepsilon ^{2}}}},exp left(-{frac {x^{2}}{2varepsilon ^{2}}}ight) {xrightarrow {varepsilon o 0}} Delta (x)}$

Die Funktionen erhalten ein Spitzenmaximum bei ${Anzeigestil x=0}$ mit einer Breite von ca. ${Anzeigestil Varepsilon o 0}$ und die Höhe ca ${displaystyle 1/varepsilon oder infty .}$ Für alle ${Anzeigestil Varepsilon }$ ist die Fläche unter der Kurve gleich 1.

• Cauchy-Verteilung; die Wahrscheinlichkeitsdichte der Cauchy-Verteilung mit den Parametern 0 und ${Anzeigestil Varepsilon }$

${displaystyle {frac {1}{pi}}{frac {varepsilon }{x^{2} varepsilon ^{2}}} {xrightarrow {varepsilon o 0}} Delta (x)}$

• Präsentation von Fresnel

${displaystyle {frac {1}{sqrt {ipi varepsilon ^{2}}}},exp left(i{frac {x^{2}}{varepsilon ^{2}}}ight) {xrightarrow {varepsilon o 0} } Delta(x)}$

wie eine auf ein Rohr (Zylinder) gewickelte Leitung, deren Windungen durch ${Displaystil x^{2}}$ immer kleiner werden. Die Masseflächen (in a ${Anzeigestil x}$-${Anzeigestil y}$System) der Röhre werden durch Real- und Imaginärteil der Funktion gebildet. Die Funktion erlischt im ${Anzeigestil z}$-Richtung.

Andere Näherungen sind möglich, die nur stückweise stetig differenzierbar sind:

• Rechteckfunktion; eine Rechteckfunktion, die auf dem Intervall liegt ${displaystyle [-{ frac {1}{2}}varepsilon ,{ frac {1}{2}}varepsilon ]}$ der Wert ${displaystyle 1/varepsilon }$ nimmt an und 0 außerhalb davon:

${displaystyle {frac {mathrm {rect} (x/varepsilon)}{varepsilon}} {xrightarrow {varepsilon o 0}}delta (x)}$

• Dreieckfunktion; die Funktionsreihe mit Graph in Form eines gleichschenkligen Dreiecks mit Basis das Intervall ${displaystyle [-varepsilon ,varepsilon ]}$ und Höhe ${displaystyle 1/varepsilon }$ hat die Deltafunktion als Grenzwert.

• Exponentialfunktion mit Symmetrie um den Ursprung

${displaystyle {frac {1}{2varepsilon }}exp left(-{frac {|x|}{varepsilon }}ight) {xrightarrow {varepsilon o 0}} Delta (x)}$

• Sinc-Funktion

Ansatz der sinc

Die Reihe der sinc-Funktionen

${displaystyle {frac {1}{pi x}}sin left({frac {x}{varepsilon }}ight)}$

führt nicht zur Delta-Funktion, da die Sinc-Funktion auch zunehmend negative Werte annimmt. Aber im Integral

${displaystyle lim _{varepsilon o 0}int _{-infty }^{infty }{frac {1}{pi x}}sin left({frac {x}{varepsilon }}ight)phi (x),mathrm { d} x}$

die Warteschlange verhält sich für alle ${displaystyle phi in {mathcal {D}}}$ im Grenzwert als Deltafunktion.

Deltazug

Die periodische Wiederholung mit Punkt ${Anzeigestil T}$ einer Deltafunktion wird Deltazug genannt:

${Anzeigestil Delta _{T}(x)=Summe _{n=-Infty}^{Infty}Delta (x-ncdot T)}$

Das Produkt einer Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ mit einem Delta-Zug entspricht dem Konzept der Stichprobenziehung. Die durchgängig definierte Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ wird in eine diskrete Funktion umgewandelt, die nur an den Stellen existiert, an denen der Deltazug existiert.

${Anzeigestil f(x) Delta _{T}(x)=Summe _{n=-Infty}^{Infty}f(ncdot T) Delta (x-ncdot T)}$

Die Faltung einer Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ mit einem Delta-Zug entspricht geometrisch einer periodischen Wiederholung dieser Funktion.

${displaystyle f(x)*delta _{T}(x)=sum _{n=-infty}^{infty}f(x-ncdot T)}$

Nur wenn die Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ ungleich Null ist auf einem endlichen Längenintervall ${Anzeigestil A}$ und die Wiederholungsperiode ${Anzeigestil T}$ ist größer als ${Anzeigestil A,}$ es wird keine Überlappung zwischen den aufeinanderfolgenden periodischen Wiederholungen geben.

Literatur

• Ein kurzer Kurs in mathematischen Methoden mit Maple. Weltwissenschaftlich (2006). ISBN 981-256-461-6 ..
• Mathematische Methoden für Physiker, 5. Akademische Presse, Boston, M. A. (2000). ISBN 978-0-12-059825-0 ..
• Bracewell, R., Die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen, 2. McGraw-Hill (1986)..
• Cordoba, A., Die Zusammenfassung der Formel von Poisson, 373–376..
• Methoden der mathematischen Physik, Band II. Wiley-Interscience (1962)..
• Lineare Algebra und lineare Operatoren im Ingenieurwesen mit Anwendungen in Mathematica. Akademische Presse (2000). ISBN 0-12-206349-X .
• Auf Analyse behandeln. Voll. II. Akademische Presse [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York (1976). ISBN 978-0-12-215502-4 ..
• Auf Analyse behandeln. Voll. III. Akademische Presse, Boston, MA (1972).
• Dirac, Paulo, Prinzipien der Quantenmechanik, 4. Oxford bei der Clarendon Press (1958). ISBN 978-0-19-852011-5 ..

Siehe auch

• impulsive Reaktion
• Zeitbereich
• Kamm von Dirac

Externe Links

• Definition und Eigenschaften
• MathWorld (Englisch)