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Hilbert-kromme
Die ersten 8 Schritte beim Bau der Hilbert-Kurve

EIN Hilbert-Kurve (auch bekannt als a raumfüllende Hilbert-Kurve) ist ein kontinuierlichfraktalraumfüllende Kurve, die erstmals 1891 von der Deutsche Mathematiker David Hilbert,[1] als Variante der raumfüllenden Kurven, die 1890 von . entdeckt wurden Giuseppe Peano.[2]

Als Domäne der Kurve wählen wir das Intervall [0,1]. Das Parametrierfunktion ist der Grenze einer Reihe von Funktionen, nämlich die Parametrisierungsfunktionen einer Kurvenreihe, wie dargestellt. Um den Punkt P für einen Parameterwert x zu finden, schreiben wir x in die 4-stellige System. Jede Stelle nach dem Komma stellt die Auswahl von 4 Quadraten dar (je nach Position der Zahl nach dem Komma immer kleiner). Zum Beispiel schreiben wir 31 für das Quadrat, das den Zahlen 31 nach dem Komma entspricht. Der obere linke Scheitelpunkt des ganzen Quadrats stellt 0 dar, also sind die Quadrate hier 0,00, 000, 0000 usw. usw. Subquadrat 0 grenzt immer an 1, 1 an 2 und 2 an 3. Die Wahl zwischen im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn im Quadrat wird dadurch bestimmt, dass 03 an 1, 13 an 2 und 23 an 3 angrenzen muss, und 33 ist wie gesagt fest. Wenn Sie jedes Mal eine Zahl hinzufügen, erhalten Sie ein immer kleineres Quadrat mit der Grenze des gesuchten Punktes. Die so erhaltene Kurve füllt das gesamte Quadrat aus und hat eine kontinuierliche Parametrisierungsfunktion. Die Funktion ist nicht injektiv, also werden die 4-stelligen 0.13 und 0.21 (7/16 und 9/16) auf denselben Punkt abgebildet, und 0.02222.., 0.2 und 0.31111.. (1/6, 1 /2 und 5/6) ebenfalls ( auf der Mitte).

Da es sich um eine raumfüllende Kurve handelt, die in diesem Fall in zwei Dimensionen „lebt“, ist es Hausdorff-Dimension 2 (um genau zu sein, ihr Image ist die Einheitsquadrat, von denen die Abmessungen natürlich gleich 2 in jeder Definition von Abmessungen; ihr Diagramm ist ein kompaktSammlung Das homöomorph schließt Einheitsintervall, mit Hausdorff-Maß 2.

Siehe auch