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Fractal

Mandelbrot-Fraktal

Mandelbrot-Fraktal, 75-fache Vergrößerung

Das Buddhabrot ist eine spezielle Version der Mandelbrot-Menge, die nach Drehung um 90 Grad eine gewisse Ähnlichkeit mit Buddha

Julia Kollektion

EIN fraktal, manchmal auch fraktal genannt, ist ein Geometer stell dir das vor selbstähnlich d.h. besteht aus Teilen, die in ihrer Form der Figur selbst mehr oder weniger ähnlich sind. Fraktale haben unendlich viele Details, und einige Fraktale haben Motive, die sich in kleinerem Maßstab wiederholen. Normalerweise können Fraktale durch wiederholtes Anwenden einer bestimmten Operation erzeugt werden. Der Begriff fraktal wurde 1975 von . eingeführt Benoît Mandelbrot und stammt aus dem Lateinischen fraktus (gebrochen).

Mathematische Objekte mit fraktalen Eigenschaften wurden im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert von Mathematikern wie . entdeckt Karl Weierstraße, Helge von Kocho, George Cantor, Henri Poincare und Gaston Julia. Fraktale Geometrie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von Fraktalen beschäftigt. Es ergänzt die klassische Geometrie mit Anwendungen in Wissenschaft, Technologie und Computerkunst.

Die bekanntesten Fraktale sind die Mandelbrot-Sammlung und der Julia Kollektion.

Fraktale Dimension

Im gewöhnlichen Geometrie ist ein Gerade Linie eindimensional, a eben zweidimensional und eine räumliche Form dreidimensional. Bei Fraktalen lässt sich die Dimension nicht so einfach angeben. Bei dem iterativen Prozess, bei dem sich eine Linienfigur einem Fraktal annähert, kann manchmal ein zweidimensionaler Bereich vollständig ausgefüllt werden, und die eindimensionale Form nähert sich einem zweidimensionalen an. Mandelbrot verwendet das verallgemeinerte Dimensionskonzept nach Hausdorff und fanden heraus, dass die meisten Fraktale eine nicht ganzzahlige Dimension haben, die fraktale Dimension wird genannt. Das führte zu der Definition:

Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Dimension ist größer als die Abmessungen der Lebesgue-Abdeckung.

Jede Menge mit einer nicht ganzzahligen Dimension ist also ein Fraktal. Das Umgekehrte gilt jedoch nicht: Es gibt auch Fraktale mit ganzzahliger Dimension, wie die braunes Uhrwerk.

Maße messen

Die Dimensionalität einiger Figuren ist so offensichtlich, dass es unnötig erscheint, eine Methode zur Verfügung zu haben, um die Dimension zu bestimmen. Beispielsweise ist eine Gerade „eindeutig“ eindimensional und eine ebene Fläche zweidimensional. Das könnten wir im Zweifelsfall wie folgt feststellen:

Betrachten Sie ein beschränktes Objekt. Wir wählen einen Radius ${Anzeigestil R}$ und bestimmen Sie, wie viele Kugeln mit Radius ${Anzeigestil R}$ erforderlich, um das Objekt vollständig abzudecken. Wir schauen uns nun an, was mit der Anzahl der benötigten Kugeln passiert, wenn wir den Radius kleiner machen. Wenn wir ein Segment haben und den Radius halbieren, brauchen wir doppelt so viele Kugeln. Für eine beschränkte Ebene benötigen wir viermal so viele Kugeln (4=2²). Im Allgemeinen definieren wir, dass wenn wir den Radius durch ${Anzeigestil S}$ dividiere die Anzahl der benötigten Kugeln durch ${Anzeigestil S^{d}}$ steigt, ${displaystyle d}$ ist die Dimensionalität des Objekts.

Für Linien und Ebenen erscheint das etwas albern, aber nicht, wenn die Ansammlung von Punkten beispielsweise einer Wolke oder einer Küstenlinie ähnelt. In diesem Fall ist es möglich, Sets zu definieren, in denen die Anzahl der Kugeln um den Faktor zunimmt ${Displaystil S^{2{,}324}}$ oder ${Displaystil S^{1{,}324}}$ . Diese Arten von Zahlen, bei denen die Dimension keine ganze Zahl ist, werden Fraktale genannt.

Anwendungen

Fraktale Mathematik war in den 1980er und 1990er Jahren unter Wissenschaftlern übermäßig beliebt. Es wurde angenommen, dass Fraktale überall und in allem erkannt werden könnten, und diese Mathematik wurde unangemessen angewendet; so sehr, dass Fraktale im Jahr 2004 in der Wissenschaft etwas diskreditiert sind. Dies ist umso merkwürdiger, als ein Fraktal, wie eine Kugel oder ein Dreieck, ein mathematisches Konzept ist, das weder wahr noch falsch ist, sondern einfach per Definition geschaffen wurde.

Dennoch gibt es verschiedene Anwendungen von Fraktalen, die unverzichtbar sind. Die Beschreibung von Chaos zum Beispiel ist ohne den Hintergrund von Fraktalen nicht denkbar. Das Poincaré-Bild eines chaotischen Systems bildet ein Fraktal. Auch die Charakterisierung scheinbar sehr unordentlicher Strukturen, zum Beispiel Partikel mit besonders rauer Oberfläche oder die Charakterisierung der Blattform von Farnen oder der Aststruktur von Bäume macht dankbaren Gebrauch von fraktaler Mathematik. Unter Verwendung der Kleinwinkelstreuung von Röntgen- und Neutronenstrahlung (SAXS oder SANS) kann fraktale Dimensionen von beispielsweise kolloidal Schwebeteilchen können direkt gemessen werden.

Programme

Es gibt viele Programme die Bilder mit fraktalen Berechnungen erstellen können. Durch Zuweisen einer Farbe zum Wert werden Bilder erstellt. Durch die Vergrößerung eines kleinen Teils innerhalb eines solchen Programms kann man erkennen, dass ein Fraktal immer weiter berechnet werden kann (je nach Einschränkungen des Programms).