WikiDer > Гипергеометрическая функция матричного аргумента

Hypergeometric function of a matrix argument

В математика, то гипергеометрическая функция аргумента матрицы является обобщением классической гипергеометрический ряд. Это функция, определяемая бесконечным суммированием, которую можно использовать для вычисления некоторых многомерных интегралов.

Гипергеометрические функции матричного аргумента находят применение в теория случайных матриц. Например, распределения крайних собственных значений случайных матриц часто выражаются через гипергеометрическую функцию аргумента матрицы.

Определение

Позволять и быть целыми числами, и пусть быть комплексная симметричная матрица, тогда гипергеометрическая функция аргумента матрицы и параметр определяется как

куда средства это раздел из , это Обобщенный символ Поххаммера, и является "C" нормализацией Функция Джека.

Два аргумента матрицы

Если и два сложных симметричных матриц, то гипергеометрическая функция двух аргументов матрицы определяется как:

куда это единичная матрица размера .

Не типичная функция аргумента матрицы

В отличие от других функций аргумента матрицы, таких как матричная экспонента, которые являются матричнозначными, гипергеометрическая функция (одного или двух) матричных аргументов является скалярнозначной.

Параметр

Во многих публикациях параметр опущено. Также в разных публикациях разные значения подразумеваются неявно. Например, в теории реальных случайных матриц (см., Например, Muirhead, 1984), тогда как в других условиях (например, в сложном случае - см. Gross and Richards, 1989), . Что еще хуже, в теории случайных матриц исследователи предпочитают параметр, называемый вместо который используется в комбинаторике.

Следует помнить, что

Следует обратить внимание на то, использует ли конкретный текст параметр или же и какое конкретное значение этого параметра.

Обычно в настройках, включающих реальные случайные матрицы, и поэтому . В настройках, включающих сложные случайные матрицы, и .

Рекомендации

  • К. И. Гросс и Д. Сент-П. Ричардс, "Полная положительность, сферические ряды и гипергеометрические функции матричного аргумента", J. Прибл. Теория, 59, нет. 2, 224–246, 1989.
  • Дж. Канеко, "Интегралы Сельберга и гипергеометрические функции, связанные с многочленами Джека", Журнал СИАМ по математическому анализу, 24, нет. 4, 1086-1110, 1993.
  • Пламен Коев и Алан Эдельман, «Эффективное вычисление гипергеометрической функции матричного аргумента», Математика вычислений, 75, нет. 254, 833-846, 2006.
  • Робб Мюрхед, Аспекты многомерной статистической теории, John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1984.

внешняя ссылка