WikiDer > Дифференциальное уравнение Римана - Википедия

Riemanns differential equation - Wikipedia

В математика, Дифференциальное уравнение Римана, названный в честь Бернхард Риманн, является обобщением гипергеометрическое дифференциальное уравнение, позволяя регулярные особые точки (RSP) произойти в любом месте Сфера Римана, а не просто 0, 1 и . Уравнение также известно как Уравнение Папперица.[1]

В гипергеометрическое дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, которое имеет три регулярные особые точки: 0, 1 и . Это уравнение допускает два линейно независимых решения; около особенности , решения принимают вид , куда - локальная переменная, а локально голоморфен . Настоящее число называется показателем решения при . Позволять α, β и γ - показатели одного решения в точках 0, 1 и соответственно; и разреши α ', β ' и γ ' быть таковыми из другого. потом

Применяя подходящие изменения переменной, можно преобразовать гипергеометрическое уравнение: Применяя Преобразования Мебиуса будет регулировать позиции RSP, в то время как другие преобразования (см. ниже) могут изменять показатели в RSP, при условии, что показатели в сумме будут равны 1.

Определение

Дифференциальное уравнение имеет вид

Регулярные особые точки: а, б, и c. Показатели решений на этих RSP соответственно равны α; α ′, β; β ′, и γ; γ ′. Как и прежде, показатели степени подчиняются условию

Решения и связь с гипергеометрической функцией

Решения обозначены P-символ Римана (также известный как Символ Папперица)

Стандарт гипергеометрическая функция может быть выражено как

P-функции подчиняются ряду тождеств; один из них позволяет выразить общую P-функцию через гипергеометрическую функцию. это

Другими словами, можно записать решения в терминах гипергеометрической функции как

Полный комплект Куммер24 решения могут быть получены таким образом; посмотреть статью гипергеометрическое дифференциальное уравнение для лечения растворов Куммера.

Дробно-линейные преобразования

P-функция обладает простой симметрией под действием дробно-линейные преобразования известный как Преобразования Мебиуса (это конформные переназначения сферы Римана) или, что то же самое, под действием группы GL(2, C). Учитывая произвольный сложные числа А, B, C, D такой, что ОБЪЯВЛЕНИЕдо н.э ≠ 0, определите количества

и

то имеет место простое соотношение

выражая симметрию.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Сиклос, Стивен. «Уравнение Папперица» (PDF). Получено 21 апреля 2014.

Рекомендации