WikiDer > Многоугольный номер

Polygonal number

В математика, а многоугольное число это номер представлены в виде точек или камешков, расположенных в форме правильный многоугольник. Точки считаются альфами (единицами). Это один из типов двумерных фигуральные числа.

Определение и примеры

Например, число 10 можно расположить как треугольник (видеть треугольное число):

*
**
***
****

Но 10 нельзя устроить как квадрат. Число 9, с другой стороны, может быть (см. квадратный номер):

***
***
***

Некоторые числа, например 36, можно расположить как квадрат, так и треугольник (см. квадратное треугольное число):

******
******
******
******
******
******
*
**
***
****
*****
******
*******
********

По соглашению 1 - это первое многоугольное число для любого количества сторон. Правило увеличения многоугольника до следующего размера состоит в том, чтобы удлинить два соседних плеча на одну точку и затем добавить необходимые дополнительные стороны между этими точками. На следующих диаграммах каждый дополнительный слой показан красным цветом.

Треугольные числа

Многоугольное число 3.gif

Квадратные числа

Многоугольное число 4.gif

Многоугольники с большим количеством сторон, такие как пятиугольники и шестиугольники, также могут быть построены в соответствии с этим правилом, хотя точки больше не будут образовывать идеально правильную решетку, как указано выше.

Пятиугольные числа

Многоугольное число 5.gif

Шестиугольные числа

Многоугольное число 6.gif

Формула

Если s количество сторон многоугольника, формула для пth s-гональный номер п(s,п) является

или же

В пth s-угольное число также связано с треугольными числами Тп следующее:

Таким образом:

Для данного s-гональный номер п(s,п) = Икс, можно найти п к

и можно найти s к

.


Каждое шестиугольное число также является треугольным числом.

Применяя формулу выше:

к корпусу с 6 сторон дает:

но с тех пор:

следует, что:

Это показывает, что пгексагональное число п(6,п) также (2п − 1)ое треугольное число Т2п−1. Мы можем найти каждое шестиугольное число, просто взяв нечетные треугольные числа:

1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Таблица значений

Первые 6 значений в столбце «сумма обратных чисел» для треугольных и восьмиугольных чисел взяты из опубликованного решения общей проблемы, которое также дает общую формулу для любого количества сторон в терминах функция дигаммы.[1]

sИмяФормулапСумма обратных[1][2]OEIS номер
12345678910
3Треугольная1/2(п2 + п)136101521283645552[1]A000217
4Квадрат1/2(2п2 − 0п)
= п2
149162536496481100π2/6[1]A000290
5Пятиугольный1/2(3п2п)151222355170921171453 пер 3 − π3/3[1]A000326
6Шестиугольный1/2(4п2 − 2п)
= 2п2 - п
1615284566911201531902 пер 2[1]A000384
7Семиугольный1/2(5п2 − 3п)1718345581112148189235[1]A000566
8Восьмиугольный1/2(6п2 − 4п)
= 3п2 - 2п
18214065961331762252803/4 ln 3+ π3/12[1]A000567
9Неагональный1/2(7п2 − 5п)19244675111154204261325A001106
10Десятиугольный1/2(8п2 − 6п)
= 4п2 - 3п
110275285126175232297370ln 2+ π/6A001107
11Хендекагональный1/2(9п2 − 7п)111305895141196260333415A051682
12Додекагональный1/2(10п2 − 8п)1123364105156217288369460A051624
13Трехугольник1/2(11п2 − 9п)1133670115171238316405505A051865
14Тетрадекагональный1/2(12п2 − 10п)11439761251862593444415502/5 ln 2+ 3/10 ln 3+ π3/10A051866
15Пятиугольник1/2(13п2 − 11п)1154282135201280372477595A051867
16Шестиугольный1/2(14п2 − 12п)1164588145216301400513640A051868
17Гептадекагональный1/2(15п2 − 13п)1174894155231322428549685A051869
18Восьмиугольный1/2(16п2 − 14п)118511001652463434565857304/7 пер 2 - 2/14 ln (3 - 22) + π(1 + 2)/14A051870
19Эннеадекагональный1/2(17п2 − 15п)11954106175261364484621775A051871
20Икосагональный1/2(18п2 − 16п)12057112185276385512657820A051872
21Икосигенагональный1/2(19п2 − 17п)12160118195291406540693865A051873
22Икозидигональный1/2(20п2 − 18п)12263124205306427568729910A051874
23Икоситригональный1/2(21п2 − 19п)12366130215321448596765955A051875
24Икоситетрагональный1/2(22п2 − 20п)124691362253364696248011000A051876
.............................................
10000Мириагональный1/2(9998п2 − 9996п)110000299975999299985149976209965279952359937449920A167149

В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей избегает терминов с использованием греческих префиксов (например, «восьмиугольник») в пользу терминов с использованием цифр (например, «8-угольный»).

Свойство этой таблицы можно выразить следующим тождеством (см. A086270):

с

Комбинации

Некоторые числа, например 36, которое одновременно является квадратным и треугольным, делятся на два многоугольных набора. Задача определения для двух таких наборов всех чисел, которые принадлежат обоим, может быть решена путем сведения задачи к Уравнение Пелла. Простейший пример этого - последовательность квадратные треугольные числа.

В следующей таблице представлен набор s-гональный т-гональные числа для малых значений s и т.

sтПоследовательностьOEIS номер
431, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...A001110
531, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, …A014979
541, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...A036353
63Все шестиугольные числа тоже треугольные.A000384
641, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ...A046177
651, 40755, 1533776805, …A046180
731, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, …A046194
741, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, …A036354
751, 4347, 16701685, 64167869935, …A048900
761, 121771, 12625478965, …A048903
831, 21, 11781, 203841, …A046183
841, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …A036428
851, 176, 1575425, 234631320, …A046189
861, 11781, 113123361, …A046192
871, 297045, 69010153345, …A048906
931, 325, 82621, 20985481, …A048909
941, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ...A036411
951, 651, 180868051, …A048915
961, 325, 5330229625, …A048918
971, 26884, 542041975, …A048921
981, 631125, 286703855361, …A048924

В некоторых случаях, например, s = 10 и т = 4, в обоих наборах нет чисел, кроме 1.

Проблема нахождения чисел, принадлежащих трем многоугольным множествам, более сложна. Компьютерный поиск пятиугольных квадратных треугольных чисел дал только тривиальное значение 1, хотя доказательства того, что других таких чисел нет, еще предстоит найти.[3]

Число 1225 гекатоникоситетрагональное (s = 124), гексаконтагональной (s = 60), икозиеннеагональный (s = 29), шестиугольной, квадратной и треугольной.

Единственный многоугольный набор, который полностью содержится в другом многоугольном наборе, - это набор гексагональных чисел, который содержится в наборе треугольных чисел.[нужна цитата]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c d е ж грамм час «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-06-15. Получено 2010-06-13.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)
  2. ^ За пределами проблемы Базеля: суммы обратных величин фигуральных чисел
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Пятиугольное квадратное треугольное число». MathWorld.

Рекомендации

внешняя ссылка