WikiDer > Идеальная норма

Ideal norm

В коммутативная алгебра, то норма идеала является обобщением норма элемента в расширение поля. Это особенно важно в теория чисел поскольку он измеряет размер идеальный сложного номер кольцо с точки зрения идеальный в менее сложном звенеть. Когда за менее сложное числовое кольцо берется кольцо целых чисел, Z, то норма ненулевого идеала я номерного кольца р просто размер конечного кольцо частного р/я.

Относительная норма

Позволять А быть Дедекиндский домен с поле дробей K и целостное закрытие из B в конечном отделяемое расширение L из K. (это означает, что B также является дедекиндовской областью.) Пусть и быть идеальные группы из А и Bсоответственно (т.е. множества ненулевых фракционные идеалы.) Следуя методике, разработанной Жан-Пьер Серр, то карта норм

уникальный групповой гомоморфизм это удовлетворяет

для всех ненулевых главные идеалы из B, куда это главный идеал из А лежащий ниже .


В качестве альтернативы для любого можно эквивалентно определить быть дробный идеал из А генерируется множеством из полевые нормы элементов B.[1]

За , надо , куда .

Идеальная норма главный идеал таким образом, совместим с полевой нормой элемента:

[2]

Позволять быть Расширение Галуа из числовые поля с кольца целых чисел .

Тогда предыдущее применяется с , и для любого у нас есть

который является элементом .

Обозначение иногда сокращается до , злоупотребление обозначениями это совместимо с написанием для нормы поля, как указано выше.


В случае , разумно использовать положительные рациональное число как диапазон для поскольку имеет тривиальный группа идеального класса и группа единиц , поэтому каждое ненулевое дробный идеал из порождается однозначно определенным положительным Рациональное число.По этому соглашению относительная норма из вплоть до совпадает с абсолютная норма определено ниже.

Абсолютная норма

Позволять быть числовое поле с кольцо целых чисел , и ненулевой (интегральный) идеальный из .

Абсолютная норма является

По соглашению норма нулевого идеала принимается равной нулю.

Если это главный идеал, тогда

.[3]

Норма полностью мультипликативный: если и идеалы , тогда

.[3]

Таким образом, абсолютная норма однозначно продолжается до групповой гомоморфизм

определен для всех ненулевых фракционные идеалы из .

Норма идеальный может использоваться для определения верхней границы нормы поля наименьшего ненулевого элемента, который он содержит:

всегда существует ненулевой для которого

куда

  • это дискриминант из и
  • количество пар (не действительных) комплексных вложения из L в (количество сложных мест L).[4]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Януш, Джеральд Дж. (1996), Поля алгебраических чисел, Аспирантура по математике, 7 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, Предложение I.8.2, ISBN 0-8218-0429-4, МИСТЕР 1362545
  2. ^ Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля, Тексты для выпускников по математике, 67, переведено Гринберг, Марвин Джей, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1.5, Proposition 14, ISBN 0-387-90424-7, МИСТЕР 0554237
  3. ^ а б Маркус, Дэниел А. (1977), Числовые поля, Universitext, New York: Springer-Verlag, теорема 22c, ISBN 0-387-90279-1, МИСТЕР 0457396
  4. ^ Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел, Берлин: Springer-Verlag, лемма 6.2, Дои:10.1007/978-3-662-03983-0, ISBN 3-540-65399-6, МИСТЕР 1697859