В математика то неопределенная сумма оператор (также известный как антиразличие оператор), обозначаемый ∑ Икс {displaystyle sum _ {x}} Δ − 1 {displaystyle Delta ^ {- 1}} [1] [2] [3] линейный оператор , инверсия оператор прямой разницы Δ {displaystyle Delta} оператор прямой разницы как неопределенный интеграл относится к производная . Таким образом
Δ ∑ Икс ж ( Икс ) = ж ( Икс ) . {displaystyle Дельта-сумма _ {x} f (x) = f (x) ,.} Более точно, если ∑ Икс ж ( Икс ) = F ( Икс ) {displaystyle sum _ {x} f (x) = F (x)}
F ( Икс + 1 ) − F ( Икс ) = ж ( Икс ) . {displaystyle F (x + 1) -F (x) = f (x) ,.} Если F (Икс ) является решением этого функционального уравнения для заданного ж (Икс ), то так F (Икс )+С (х) для любой периодической функции С (х) с периодом 1. Таким образом, каждая неопределенная сумма фактически представляет собой семейство функций. Однако решение, равное его Серия Ньютон разложение уникально с точностью до аддитивной константы C. Это уникальное решение может быть представлено в виде формального степенного ряда оператора антиразличия: Δ − 1 = 1 е D − 1 {displaystyle Delta ^ {- 1} = {frac {1} {e ^ {D} -1}}}
Основная теорема дискретного исчисления
Неопределенные суммы можно использовать для вычисления определенных сумм по формуле:[4]
∑ k = а б ж ( k ) = Δ − 1 ж ( б + 1 ) − Δ − 1 ж ( а ) {displaystyle sum _ {k = a} ^ {b} f (k) = Delta ^ {- 1} f (b + 1) -Delta ^ {- 1} f (a)} Определения
Формула суммирования Лапласа ∑ Икс ж ( Икс ) = ∫ 0 Икс ж ( т ) d т − ∑ k = 1 ∞ c k Δ k − 1 ж ( Икс ) k ! + C {displaystyle sum _ {x} f (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) dt-sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {c_ {k} Delta ^ {k- 1} f (x)} {k!}} + C} куда c k = ∫ 0 1 Γ ( Икс + 1 ) Γ ( Икс − k + 1 ) d Икс {displaystyle c_ {k} = int _ {0} ^ {1} {frac {Gamma (x + 1)} {Gamma (x-k + 1)}} dx} [5] [нужна цитата Формула Ньютона ∑ Икс ж ( Икс ) = ∑ k = 1 ∞ ( Икс k ) Δ k − 1 [ ж ] ( 0 ) + C = ∑ k = 1 ∞ Δ k − 1 [ ж ] ( 0 ) k ! ( Икс ) k + C {displaystyle sum _ {x} f (x) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {inom {x} {k}} Дельта ^ {k-1} [f] влево (0ight) + C = сумма _ {k = 1} ^ {infty} {frac {Delta ^ {k-1} [f] (0)} {k!}} (x) _ {k} + C} куда ( Икс ) k = Γ ( Икс + 1 ) Γ ( Икс − k + 1 ) {displaystyle (x) _ {k} = {frac {Gamma (x + 1)} {Gamma (x-k + 1)}}} падающий факториал . Формула Фаульхабера ∑ Икс ж ( Икс ) = ∑ п = 1 ∞ ж ( п − 1 ) ( 0 ) п ! B п ( Икс ) + C , {displaystyle sum _ {x} f (x) = sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {f ^ {(n-1)} (0)} {n!}} B_ {n} (x ) + C ,,} при условии, что правая часть уравнения сходится.
Формула Мюллера Если Lim Икс → + ∞ ж ( Икс ) = 0 , {displaystyle lim _ {x o {+ infty}} f (x) = 0,} [6]
∑ Икс ж ( Икс ) = ∑ п = 0 ∞ ( ж ( п ) − ж ( п + Икс ) ) + C . {displaystyle sum _ {x} f (x) = sum _ {n = 0} ^ {infty} left (f (n) -f (n + x) ight) + C.} Формула Эйлера – Маклорена ∑ Икс ж ( Икс ) = ∫ 0 Икс ж ( т ) d т − 1 2 ж ( Икс ) + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! ж ( 2 k − 1 ) ( Икс ) + C {displaystyle sum _ {x} f (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) dt- {frac {1} {2}} f (x) + sum _ {k = 1} ^ { infty} {гидроразрыв {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (x) + C} Выбор постоянного члена
Часто постоянная C в неопределенной сумме фиксируется из следующего условия.
Позволять
F ( Икс ) = ∑ Икс ж ( Икс ) + C {displaystyle F (x) = sum _ {x} f (x) + C} Тогда постоянная C фиксируется из условия
∫ 0 1 F ( Икс ) d Икс = 0 {displaystyle int _ {0} ^ {1} F (x) dx = 0} или же
∫ 1 2 F ( Икс ) d Икс = 0 {displaystyle int _ {1} ^ {2} F (x) dx = 0} В качестве альтернативы можно использовать сумму Рамануджана:
∑ Икс ≥ 1 ℜ ж ( Икс ) = − ж ( 0 ) − F ( 0 ) {displaystyle sum _ {xgeq 1} ^ {Re} f (x) = - f (0) -F (0)} или в 1
∑ Икс ≥ 1 ℜ ж ( Икс ) = − F ( 1 ) {displaystyle sum _ {xgeq 1} ^ {Re} f (x) = - F (1)} соответственно[7] [8]
Суммирование по частям
Неопределенное суммирование по частям:
∑ Икс ж ( Икс ) Δ грамм ( Икс ) = ж ( Икс ) грамм ( Икс ) − ∑ Икс ( грамм ( Икс ) + Δ грамм ( Икс ) ) Δ ж ( Икс ) {displaystyle sum _ {x} f (x) Delta g (x) = f (x) g (x) -sum _ {x} (g (x) + Delta g (x)) Delta f (x)} ∑ Икс ж ( Икс ) Δ грамм ( Икс ) + ∑ Икс грамм ( Икс ) Δ ж ( Икс ) = ж ( Икс ) грамм ( Икс ) − ∑ Икс Δ ж ( Икс ) Δ грамм ( Икс ) {displaystyle sum _ {x} f (x) Delta g (x) + sum _ {x} g (x) Delta f (x) = f (x) g (x) -sum _ {x} Delta f (x) ) Дельта g (x)} Определенное суммирование по частям:
∑ я = а б ж ( я ) Δ грамм ( я ) = ж ( б + 1 ) грамм ( б + 1 ) − ж ( а ) грамм ( а ) − ∑ я = а б грамм ( я + 1 ) Δ ж ( я ) {displaystyle sum _ {i = a} ^ {b} f (i) Delta g (i) = f (b + 1) g (b + 1) -f (a) g (a) -sum _ {i = a} ^ {b} g (i + 1) Delta f (i)} Правила периода
Если Т {displaystyle T} ж ( Икс ) {displaystyle f (x)}
∑ Икс ж ( Т Икс ) = Икс ж ( Т Икс ) + C {displaystyle sum _ {x} f (Tx) = xf (Tx) + C} Если Т {displaystyle T} ж ( Икс ) {displaystyle f (x)} ж ( Икс + Т ) = − ж ( Икс ) {displaystyle f (x + T) = - f (x)}
∑ Икс ж ( Т Икс ) = − 1 2 ж ( Т Икс ) + C {displaystyle sum _ {x} f (Tx) = - {frac {1} {2}} f (Tx) + C} Альтернативное использование
Некоторые авторы используют фразу «неопределенная сумма» для описания суммы, в которой не указано числовое значение верхнего предела:
∑ k = 1 п ж ( k ) . {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} f (k).} В этом случае выражение в закрытой форме F (k ) для суммы является решением
F ( Икс + 1 ) − F ( Икс ) = ж ( Икс + 1 ) {displaystyle F (x + 1) -F (x) = f (x + 1)} которое называется уравнением телескопирования.[9] обратная разница ∇ {displaystyle abla}
Список неопределенных сумм
Это список неопределенных сумм различных функций. Не у каждой функции есть неопределенная сумма, которую можно выразить через элементарные функции.
Антиразличия рациональных функций ∑ Икс а = а Икс + C {displaystyle sum _ {x} a = ax + C} ∑ Икс Икс = Икс 2 2 − Икс 2 + C {displaystyle sum _ {x} x = {frac {x ^ {2}} {2}} - {frac {x} {2}} + C} ∑ Икс Икс а = B а + 1 ( Икс ) а + 1 + C , а ∉ Z − {displaystyle sum _ {x} x ^ {a} = {frac {B_ {a + 1} (x)} {a + 1}} + C ,, aotin mathbb {Z} ^ {-}} куда B а ( Икс ) = − а ζ ( − а + 1 , Икс ) {displaystyle B_ {a} (x) = - azeta (-a + 1, x)} Полиномы Бернулли . ∑ Икс Икс а = ( − 1 ) а − 1 ψ ( − а − 1 ) ( Икс ) Γ ( − а ) + C , а ∈ Z − {displaystyle sum _ {x} x ^ {a} = {frac {(-1) ^ {a-1} psi ^ {(- a-1)} (x)} {Гамма (-a)}} + C ,, ain mathbb {Z} ^ {-}} куда ψ ( п ) ( Икс ) {displaystyle psi ^ {(n)} (x)} полигамма функция . ∑ Икс 1 Икс = ψ ( Икс ) + C {displaystyle sum _ {x} {frac {1} {x}} = psi (x) + C} куда ψ ( Икс ) {displaystyle psi (x)} функция дигаммы . ∑ Икс B а ( Икс ) = ( Икс − 1 ) B а ( Икс ) − а а + 1 B а + 1 ( Икс ) + C {displaystyle sum _ {x} B_ {a} (x) = (x-1) B_ {a} (x) - {frac {a} {a + 1}} B_ {a + 1} (x) + C } Антиразличия экспоненциальных функций ∑ Икс а Икс = а Икс а − 1 + C {displaystyle sum _ {x} a ^ {x} = {frac {a ^ {x}} {a-1}} + C} Особенно,
∑ Икс 2 Икс = 2 Икс + C {displaystyle sum _ {x} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} + C} Антиразличия логарифмических функций ∑ Икс бревно б Икс = бревно б Γ ( Икс ) + C {displaystyle sum _ {x} log _ {b} x = log _ {b} Gamma (x) + C} ∑ Икс бревно б а Икс = бревно б ( а Икс − 1 Γ ( Икс ) ) + C {displaystyle sum _ {x} log _ {b} ax = log _ {b} (a ^ {x-1} Gamma (x)) + C} Антиразличия гиперболических функций ∑ Икс грех а Икс = 1 2 csch ( а 2 ) шиш ( а 2 − а Икс ) + C {displaystyle sum _ {x} sinh ax = {frac {1} {2}} operatorname {csch} left ({frac {a} {2}} ight) cosh left ({frac {a} {2}} - axight ) + C} ∑ Икс шиш а Икс = 1 2 csch ( а 2 ) грех ( а Икс − а 2 ) + C {displaystyle sum _ {x} cosh ax = {frac {1} {2}} operatorname {csch} left ({frac {a} {2}} ight) sinh left (ax- {frac {a} {2}} ight) + C} ∑ Икс танх а Икс = 1 а ψ е а ( Икс − я π 2 а ) + 1 а ψ е а ( Икс + я π 2 а ) − Икс + C {displaystyle sum _ {x} anh ax = {frac {1} {a}} psi _ {e ^ {a}} left (x- {frac {ipi} {2a}} ight) + {frac {1} { a}} psi _ {e ^ {a}} left (x + {frac {ipi} {2a}} ight) -x + C} куда ψ q ( Икс ) {displaystyle psi _ {q} (x)} q-дигамма функция. Антиразличия тригонометрических функций ∑ Икс грех а Икс = − 1 2 csc ( а 2 ) потому что ( а 2 − а Икс ) + C , а ≠ 2 п π {displaystyle sum _ {x} sin ax = - {frac {1} {2}} csc left ({frac {a} {2}} ight) cos left ({frac {a} {2}} - axight) + C ,,,, aeq 2npi} ∑ Икс потому что а Икс = 1 2 csc ( а 2 ) грех ( а Икс − а 2 ) + C , а ≠ 2 п π {displaystyle sum _ {x} cos ax = {frac {1} {2}} csc left ({frac {a} {2}} ight) sin left (ax- {frac {a} {2}} ight) + C ,,,, aeq 2npi} ∑ Икс грех 2 а Икс = Икс 2 + 1 4 csc ( а ) грех ( а − 2 а Икс ) + C , а ≠ п π {displaystyle sum _ {x} sin ^ {2} ax = {frac {x} {2}} + {frac {1} {4}} csc (a) sin (a-2ax) + C ,,,,, aeq npi} ∑ Икс потому что 2 а Икс = Икс 2 − 1 4 csc ( а ) грех ( а − 2 а Икс ) + C , а ≠ п π {displaystyle sum _ {x} cos ^ {2} ax = {frac {x} {2}} - {frac {1} {4}} csc (a) sin (a-2ax) + C ,,,,, aeq npi} ∑ Икс загар а Икс = я Икс − 1 а ψ е 2 я а ( Икс − π 2 а ) + C , а ≠ п π 2 {displaystyle sum _ {x} an ax = ix- {frac {1} {a}} psi _ {e ^ {2ia}} left (x- {frac {pi} {2a}} ight) + C ,,, , aeq {frac {npi} {2}}} куда ψ q ( Икс ) {displaystyle psi _ {q} (x)} q-дигамма функция. ∑ Икс загар Икс = я Икс − ψ е 2 я ( Икс + π 2 ) + C = − ∑ k = 1 ∞ ( ψ ( k π − π 2 + 1 − Икс ) + ψ ( k π − π 2 + Икс ) − ψ ( k π − π 2 + 1 ) − ψ ( k π − π 2 ) ) + C {displaystyle sum _ {x} an x = ix-psi _ {e ^ {2i}} left (x + {frac {pi} {2}} ight) + C = -sum _ {k = 1} ^ {infty} left (psi left (kpi - {frac {pi} {2}} + 1-xight) + psi left (kpi - {frac {pi} {2}} + xight) -psi left (kpi - {frac {pi}) {2}} + 1ight) -psi влево (kpi - {frac {pi} {2}} ight) ight) + C} ∑ Икс детская кроватка а Икс = − я Икс − я ψ е 2 я а ( Икс ) а + C , а ≠ п π 2 {displaystyle sum _ {x} cot ax = -ix- {frac {ipsi _ {e ^ {2ia}} (x)} {a}} + C ,,,, aeq {frac {npi} {2}}} Антиразличия обратных гиперболических функций ∑ Икс Artanh а Икс = 1 2 пер ( Γ ( Икс + 1 а ) Γ ( Икс − 1 а ) ) + C {displaystyle sum _ {x} operatorname {artanh}, ax = {frac {1} {2}} ln left ({frac {Gamma left (x + {frac {1} {a}} ight))} {Gamma left (x - {frac {1} {a}} ight)}} ight) + C} Антиразличия обратных тригонометрических функций ∑ Икс арктан а Икс = я 2 пер ( Γ ( Икс + я а ) Γ ( Икс − я а ) ) + C {displaystyle sum _ {x} arctan ax = {frac {i} {2}} ln left ({frac {Gamma (x + {frac {i} {a}})} {Gamma (x- {frac {i}}) { a}})}} ight) + C} Антиразличия специальных функций ∑ Икс ψ ( Икс ) = ( Икс − 1 ) ψ ( Икс ) − Икс + C {displaystyle sum _ {x} psi (x) = (x-1) psi (x) -x + C} ∑ Икс Γ ( Икс ) = ( − 1 ) Икс + 1 Γ ( Икс ) Γ ( 1 − Икс , − 1 ) е + C {displaystyle sum _ {x} Гамма (x) = (- 1) ^ {x + 1} Gamma (x) {frac {Gamma (1-x, -1)} {e}} + C} куда Γ ( s , Икс ) {displaystyle Gamma (s, x)} неполная гамма-функция . ∑ Икс ( Икс ) а = ( Икс ) а + 1 а + 1 + C {displaystyle sum _ {x} (x) _ {a} = {frac {(x) _ {a + 1}} {a + 1}} + C} куда ( Икс ) а {displaystyle (x) _ {a}} падающий факториал . ∑ Икс sexp а ( Икс ) = пер а ( sexp а ( Икс ) ) ′ ( пер а ) Икс + C {displaystyle sum _ {x} operatorname {sexp} _ {a} (x) = ln _ {a} {frac {(operatorname {sexp} _ {a} (x)) '} {(ln a) ^ {x }}} + C} (видеть суперэкспоненциальная функция ) Смотрите также
Рекомендации
^ Неопределенная сумма в PlanetMath.org . ^ О вычислении замкнутых форм для неопределенных сумм. Ю-Квонг Ман. J. Символическое вычисление (1993), 16, 355-376 [постоянная мертвая ссылка ^ "Если Y - функция, первое отличие которой - функция у , тогда Y называется неопределенной суммой у и обозначили Δ−1 у " Введение в разностные уравнения ^ "Справочник по дискретной и комбинаторной математике", Кеннет Х. Розен, Джон Г. Майклс, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 ^ Числа Бернулли второго вида на Mathworld ^ Маркус Мюллер. Как добавить нецелое число членов и как произвести необычное бесконечное суммирование В архиве 2011-06-17 на Wayback Machine (обратите внимание, что в своей работе он использует несколько альтернативное определение дробной суммы, то есть обратное обратной разнице, поэтому 1 в качестве нижнего предела в его формуле)^ Брюс С. Берндт, Записные книжки Рамануджана В архиве 2006-10-12 на Wayback Machine , Теория расходящихся рядов Рамануджана , Глава 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), стр. 133–149. ^ Эрик Делабэр, Подведение итогов Рамануджана , Семинар по алгоритмам 2001–2002 гг. , Ф. Чизак (ред.), INRIA, (2003), стр. 83–88. ^ Алгоритмы для нелинейных разностных уравнений высокого порядка. , Мануэль Кауэрсдальнейшее чтение
"Разностные уравнения: введение в приложения", Уолтер Г. Келли, Аллан С. Петерсон, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X Маркус Мюллер. Как добавить нецелое число членов и как произвести необычное бесконечное суммирование Маркус Мюллер, Дирк Шлейхер. Дробные суммы и эйлероподобные тождества Поляков С.П. Неопределенное суммирование рациональных функций с дополнительной минимизацией суммируемой части. Программирование, 2008, т. 34, №2. «Конечно-разностные уравнения и моделирование», Фрэнсис Б. Хильдебранд, Пренктис-Холл, 1968 г. 
![{displaystyle sum _ {x} f (x) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {inom {x} {k}} Дельта ^ {k-1} [f] влево (0ight) + C = сумма _ {k = 1} ^ {infty} {frac {Delta ^ {k-1} [f] (0)} {k!}} (x) _ {k} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6758a97991a0410ddfb47366eb53c4d7597ba5b5)
