WikiDer > Система взаимодействующих частиц

Interacting particle system

В теория вероятности, система взаимодействующих частиц (IPS) это случайный процесс на некотором пространстве конфигурации заданный пространством сайта, счетно-бесконечный график и локальное пространство состояний, a компактный метрическое пространство . Точнее IPS - это непрерывное время Марковские скачковые процессы описание коллективного поведения стохастически взаимодействующих компонентов. IPS - это непрерывный аналог стохастические клеточные автоматы.

Среди основных примеров - модель избирателя, то контактный процесс, то асимметричный простой процесс исключения (ASEP), Глауберова динамика и, в частности, стохастический Модель Изинга.

IPS обычно определяются через их Марковский генератор рождение уникального Марковский процесс используя Маркова полугруппы и Теорема Хилле-Йосиды. Генератор снова задается через так называемые скорости перехода где конечный набор узлов и с участием для всех . Скорости описывают экспоненциальное время ожидания процесса перехода из конфигурации. в конфигурацию . В более общем случае скорости перехода задаются в виде конечной меры на .

Генератор IPS имеет следующий вид. Во-первых, домен есть подмножество пространства «наблюдаемых», то есть множество действительных значений непрерывные функции на конфигурационном пространстве . Тогда для любого наблюдаемого в области , надо

.

Например, для стохастика Модель Изинга у нас есть , , если для некоторых и

где конфигурация равна за исключением того, что он перевернут на сайте . - новый параметр, моделирующий обратную температуру.


Модель избирателя

В модель избирателя (обычно в непрерывном времени, но есть и дискретные версии) - это процесс, аналогичный контактный процесс. В этом процессе используется для представления позиции избирателя по определенной теме. Избиратели пересматривают свои мнения, временами распределенные в соответствии с независимыми экспоненциальными случайными величинами (это дает локальный процесс Пуассона - обратите внимание, что в целом избиратели бесконечно много, поэтому нельзя использовать глобальный процесс Пуассона). Во время повторного рассмотрения избиратель выбирает одного соседа равномерно из всех соседей и принимает мнение этого соседа. Можно обобщить этот процесс, допустив, что выбор соседей будет отличаться от единообразия.

Дискретный временной процесс

В модели избирателя с дискретным временем в одном измерении представляет состояние частицы вовремя . Неформально каждый человек выстраивается в линию и может «видеть» других людей, находящихся в радиусе действия, . Если больше определенной пропорции, если эти люди не согласны, то индивидуум меняет свое отношение, в противном случае он сохраняет его прежним. Durrett и Steif (1993) и Steif (1994) показывают, что для больших радиусов существует критическое значение так что если большинство людей никогда не меняются, и для в пределе большинство сайтов соглашается. (Оба этих результата предполагают вероятность это половина.)

Этот процесс имеет естественное обобщение на большее количество измерений, некоторые результаты для этого обсуждаются в Durrett и Steif (1993).

Непрерывный временной процесс

Процесс непрерывного времени похож в том, что он воображает, что у каждого человека есть убеждение в каждый момент времени, и меняет его в зависимости от отношения своих соседей. Неформально процесс описан Лиггетт (1985, 226), «Периодически (то есть в независимые экспоненциальные моменты времени) индивид переоценивает свою точку зрения довольно простым способом: он выбирает« друга »наугад с определенными вероятностями и принимает свою позицию». Модель была построена с этой интерпретацией Холли и Лиггетт (1975).

Этот процесс эквивалентен процессу, впервые предложенному Клиффордом и Садбери (1973), когда животные находятся в конфликте из-за территории и находятся в равной степени. Сайт выбирается для вторжения соседом в заданное время.

использованная литература