WikiDer > Эволюция Шрамма – Лёвнера

Schramm–Loewner evolution
Эволюция Шрамма-Лёвнера на верхней полуплоскости с указанием оттенка

В теория вероятности, то Эволюция Шрамма – Лёвнера с параметром κ, также известный как стохастическая эволюция Лёвнера (СКВκ), представляет собой семейство случайных плоских кривых, которые, как было доказано, являются предел масштабирования различных двумерных решеточных моделей в статистическая механика. Учитывая параметр κ и область на комплексной плоскости U, это дает семейство случайных кривых в U, с κ контроль того, насколько повернута кривая. Существует два основных варианта СКВ: хордовый СКВ который дает семейство случайных кривых из двух фиксированных граничных точек, и радиальный СКВ, который дает семейство случайных кривых от фиксированной граничной точки до фиксированной внутренней точки. Эти кривые определены для удовлетворения конформная инвариантность и домен Марковская собственность.

Это было обнаружено Одед Шрамм (2000) как предполагаемый масштабный предел плоской единое остовное дерево (СТЮ) и планарный случайное блуждание со стиранием цикла (LERW) вероятностные процессы, разработанные им совместно с Грег Лоулер и Венделин Вернер в серии совместных работ.

Помимо UST и LERW, предполагается или доказано, что эволюция Шрамма – Лёвнера описывает предел масштабирования различных случайных процессов на плоскости, таких как критическая просачивание, то критическая модель Изинга, то модель двойного димера, прогулки с самоуправлением, и другие важные статистическая механика модели, демонстрирующие конформную инвариантность. Кривые SLE представляют собой пределы масштабирования интерфейсов и других несамопересекающихся случайных кривых в этих моделях. Основная идея состоит в том, что конформная инвариантность и определенная Марковская собственность присущие таким случайным процессам вместе позволяют кодировать эти плоские кривые в одномерное броуновское движение, бегущее по границе области (движущая функция в дифференциальном уравнении Лёвнера). Таким образом, многие важные вопросы о планарных моделях могут быть переведены в упражнения на It исчисление. Действительно, несколько математически нестрогих предсказаний, сделанных физиками с использованием конформная теория поля были доказаны с использованием этой стратегии.

Уравнение Лёвнера

Если D это односвязный, открыто сложный домен не равно C, и γ простая кривая в D начиная с границы (непрерывная функция с γ(0) на границе D и γ((0, ∞)) подмножество D), то для каждого т ≥ 0 дополнение Dт из γ([0, т]) односвязно и поэтому конформно изоморфный к D посредством Теорема Римана об отображении. Если ƒт - подходящий нормированный изоморфизм из D к Dт, то он удовлетворяет дифференциальному уравнению, найденному с помощью Лёвнер (1923), п. 121) в своей работе над Гипотеза Бибербаха.Иногда удобнее использовать обратную функцию граммт из ƒт, которое является конформным отображением из Dт к D.

В уравнении Лёвнера z находится в домене D, т ≥ 0, а граничные значения в момент времени т = 0 являются ƒ0(z) = z или же грамм0(z) = z. Уравнение зависит от функция вождения ζ(т), принимающие значения на границе D. Если D - единичный круг, а кривая γ параметризуется "емкостью", то уравнение Лёвнера имеет вид

или же

Когда D - верхняя полуплоскость, уравнение Лёвнера отличается от него заменами переменной и имеет вид

или же

Функция вождения ζ и кривая γ связаны

куда ƒт и граммт продолжаются по непрерывности.

Пример

Позволять D - верхняя полуплоскость и рассмотрим СКВ0, поэтому функция движения ζ представляет собой броуновское движение с нулевым коэффициентом диффузии. Функция ζ тождественно равен нулю почти наверняка и

- верхняя полуплоскость с линией от 0 до удаленный.

Эволюция Шрамма – Лёвнера

Эволюция Шрамма – Лёвнера - случайная кривая γ задается уравнением Лёвнера, как и в предыдущем разделе, для управляющей функции

куда B(т) есть броуновское движение на границе Dв масштабе некоторых реальных κ. Другими словами, эволюция Шрамма – Лёвнера - это вероятностная мера на плоских кривых, заданная как образ меры Винера под этим отображением.

В общем случае кривая γ не обязательно должна быть простой, и область Dт не является дополнением γ([0,т]) в D, но вместо этого является неограниченным компонентом дополнения.

Существует две версии SLE, использующие два семейства кривых, каждое из которых зависит от неотрицательного действительного параметра. κ:

  • Хордовый СКВκ, который связан с кривыми, соединяющими две точки на границе области (обычно в верхней полуплоскости, где точки равны 0 и бесконечности).
  • Радиальная СКВκ, которые связаны с кривыми, соединяющими точку на границе области с точкой во внутренней части (часто кривые, соединяющие 1 и 0 в единичном круге).

SLE зависит от выбора броуновского движения на границе области, и существует несколько вариантов в зависимости от того, какой тип броуновского движения используется: например, оно может начинаться в фиксированной точке или начинаться в равномерно распределенной точке на устройстве. круг, или может иметь встроенный дрейф и так далее. Параметр κ контролирует скорость распространения броуновского движения, и поведение SLE критически зависит от его значения.

Две области, наиболее часто используемые в эволюции Шрамма – Лёвнера, - это верхняя полуплоскость и единичный круг. Хотя дифференциальное уравнение Лёвнера в этих двух случаях выглядит по-разному, они эквивалентны с точностью до замен переменных, поскольку единичный круг и верхняя полуплоскость конформно эквивалентны. Однако конформная эквивалентность между ними не сохраняет броуновское движение на их границах, используемое для эволюции Шрамма – Лёвнера.

Особые ценности κ

  • Для 0 ≤κ ≤ 4 кривая γ (т) проста (с вероятностью 1).
  • Для 4 <κ <8 кривая γ (т) пересекает себя, и каждая точка содержится в петле, но кривая не заполняет пространство (с вероятностью 1).
  • За κ ≥ 8 кривая γ (т) заполняет пространство (с вероятностью 1).
  • κ = 2 соответствует случайное блуждание со стиранием цикла, или, что то же самое, ветви единого остовного дерева.
  • За κ = 8/3, SLEκ обладает свойством ограничения и считается пределом масштабирования случайные блуждания с самоизбеганием. Его версия - внешняя граница Броуновское движение.
  • κ = 3 - это предел интерфейсов для Модель Изинга.
  • κ = 4 соответствует пути проводника гармоник и контурным линиям Гауссово свободное поле.
  • За κ = 6, SLEκ обладает свойством локальности. Это возникает в пределе масштабирования критическая просачивание на треугольной решетке и предположительно на других решетках.
  • κ = 8 соответствует пути, отделяющему равномерное остовное дерево от двойственного к нему.

Когда SLE соответствует некоторой конформной теории поля, параметр κ относится к центральный заряд cконформной теории поля

Каждое значение c <1 соответствует двум значениям κ, одно значение κ от 0 до 4 и «двойное» значение 16 /κ больше 4.

Беффара (2008) показал, что Хаусдорфово измерение путей (с вероятностью 1) равно min (2, 1 +κ/8).

Формулы вероятности левого прохода для СКВκ

Вероятность хордовой СКВκ γ находясь слева от фиксированной точки был рассчитан Шрамм (2001)[1]

куда это Гамма-функция и это гипергеометрическая функция. Это было получено с использованием свойства мартингейла

и Лемма Ито чтобы получить следующее уравнение в частных производных для

За κ = 4, правая , который использовался при построении проводника гармоник,[2] и для κ = 6, получаем формулу Карди, которую использовал Смирнов для доказательства конформной инвариантности в просачивание.[3]

Приложения

Лоулер, Шрамм и Вернер (2001) подержанный SLE6 доказать гипотезу Мандельброт (1982) что граница плоского броуновского движения имеет фрактальная размерность 4/3.

Критический просачивание на треугольная решетка была доказана связь с СКВ6 к Станислав Смирнов.[4] В сочетании с более ранними работами Гарри Кестен,[5] это привело к определению многих критические показатели для перколяции.[6] Этот прорыв, в свою очередь, позволил провести дальнейший анализ многих аспектов этой модели.[7][8]

Случайное блуждание со стиранием цикла было показано сходиться к СКВ2 Лоулером, Шраммом и Вернером.[9] Это позволило вывести многие количественные свойства случайного блуждания со стиранием цикла (некоторые из которых были получены ранее Ричардом Кеньоном).[10]). Связанный случайный Кривая Пеано очерчивание единое остовное дерево было показано сходиться к СКВ8.[9]

Роде и Шрамм показали, что κ относится к фрактальная размерность кривой соотношением

Моделирование

Компьютерные программы (Matlab) представлены в этот репозиторий GitHub для моделирования плоских кривых Schramm Loewner Evolution.

Рекомендации

  1. ^ Schramm, Oded (2001), "Формула перколяции", Электрон. Comm., 33 (6): 115–120, arXiv:математика / 0107096, Bibcode:2001математика ...... 7096S, JSTOR 3481779
  2. ^ Шрамм, Одед; Шеффилд, Скотт (2005), «Исследователь гармоник и его конвергенция к SLE4.», Анналы вероятности, 33 (6): 2127–2148, arXiv:математика / 0310210, Дои:10.1214/009117905000000477, JSTOR 3481779, S2CID 9055859
  3. ^ Смирнов, Станислав (2001). «Критическая перколяция на плоскости: конформная инвариантность, формула Карди, пределы масштабирования». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 333 (3): 239–244. arXiv:0909.4499. Bibcode:2001CRASM.333..239S. Дои:10.1016 / S0764-4442 (01) 01991-7. ISSN 0764-4442.
  4. ^ Смирнов, Станислав (2001). «Критическая перколяция в плоскости». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 333 (3): 239–244. arXiv:0909.4499. Bibcode:2001CRASM.333..239S. Дои:10.1016 / S0764-4442 (01) 01991-7.
  5. ^ Кестен, Гарри (1987). «Масштабирующие соотношения для 2D-перколяции». Comm. Математика. Phys. 109 (1): 109–156. Bibcode:1987CMaPh.109..109K. Дои:10.1007 / BF01205674. S2CID 118713698.
  6. ^ Смирнов, Станислав; Вернер, Венделин (2001). «Критические показатели двумерной перколяции» (PDF). Математика. Res. Lett. 8 (6): 729–744. arXiv:математика / 0109120. Дои:10.4310 / mrl.2001.v8.n6.a4. S2CID 6837772.[постоянная мертвая ссылка]
  7. ^ Шрамм, Одед; Steif, Джеффри Э. (2010). «Количественная чувствительность к шуму и исключительное время просачивания». Анна. математики. 171 (2): 619–672. arXiv:математика / 0504586. Дои:10.4007 / анналы.2010.171.619. S2CID 14742163.
  8. ^ Гарбан, Кристоф; Пит, Габор; Шрамм, Одед (2013). «Основные, кластерные и интерфейсные меры для критической плоской перколяции». J. Amer. Математика. Soc. 26 (4): 939–1024. arXiv:1008.1378. Дои:10.1090 / S0894-0347-2013-00772-9. S2CID 119677336.
  9. ^ а б Лоулер, Грегори Ф .; Шрамм, Одед; Вернер, Венделин (2004). «Конформная инвариантность плоских случайных блужданий со стиранием петель и равномерных остовных деревьев». Анна. Вероятно. 32 (1B): 939–995. arXiv:математика / 0112234. Дои:10.1214 / aop / 1079021469.
  10. ^ Кеньон, Ричард (2000). «Дальнобойные свойства остовных деревьев». J. Math. Phys. 41 (3): 1338–1363. Bibcode:2000JMP .... 41,1338K. CiteSeerX 10.1.1.39.7560. Дои:10.1063/1.533190.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка