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Graph mit Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ und die Umkehrung von ${Anzeigestil f(x)}$

In dem Mathematik wird ein Bild oder Funktioninvertierbar oder bijektiv aufgerufen, wenn ein Bild in umgekehrter Richtung existiert, das genau das 'Gegenteil' von . ist ${Anzeigestil f.}$ Dieses Bild heißt das invers von ${displaystyle f}$ und wird notiert als ${displaystyle f^{-1}}$ (ausgesprochen f-invers). Genauer gesagt, wenn ${Anzeigestil f:X oder Y}$ ein Bild ist von a Sammlung${Anzeigestil X}$ zu einer Sammlung ${Anzeigestil Y,}$ dann heiß ${displaystyle f^{-1}:Y oder X}$ die Umkehrung von ${displaystyle f}$ wenn es die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

• Für alle ${displaystyle xinX}$ gilt ${Anzeigestil f^{-1}(f(x))=x}$.
• Für alle ${Anzeigestil Yin Y}$ gilt ${Anzeigestil f(f^{-1}(y))=y}$.

Diese Begriffe können auch geschrieben werden als ${displaystyle f^{-1}circ f=mathrm {id} _{X}}$ (${displaystyle f^{-1}}$ ist ein links invers von ${displaystyle f}$) und ${displaystyle fcirc f^{-1}=mathrm {id} _{Y}}$ (${displaystyle f^{-1}}$ ist ein rechts invers von ${displaystyle f}$). Hier ist das Symbol ${Displaystil-Zirkel}$ ('nach') vor dem Komposition aus zwei Bildern und ${displaystyle mathrm {id} _{X}}$ und ${displaystyle mathrm {id} _{Y}}$ für die identisches Bild auf ${Anzeigestil X}$ beziehungsweise ${Anzeigestil Y.}$

Eine Funktion ${displaystyle f}$ einer Sammlung ${Anzeigestil X}$ zu einer Sammlung ${Anzeigestil Y}$ ist dann und nur dann invertierbar, wenn es für jedes Element gibt ${Anzeigestil Yin Y}$ genau ein Element ${displaystyle xinX}$ ist, was ${Anzeigestil f(x)=y}$. Anders ausgedrückt ist das ${displaystyle f}$ beide injektiv ist (für jeden ${Anzeigestil Yin Y}$ gibt es höchstens einen ${displaystyle xinX}$ mit ${Anzeigestil f(x)=y}$) wenn surjektiv (für jedes ${Anzeigestil y}$ gibt es mindestens so eine ${Anzeigestil x}$).

Bei einer Funktion ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R}}$ entsteht der Diagramm der Funktion ${displaystyle f^{-1}}$ durch Linienreflexion aus dem Graphen von ${displaystyle f}$ im Einklang ${Anzeigestil y=x}$.