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Jacobi-polynoom

EIN Jacobi-Polynom ist eine Tür Carl Jacobic erfunden Polynom das ist eine Erweiterung von Legendre Polynomnom.

Definition

Die Jacobi-Polynome sind definiert durch:

{displaystyle P_{n}^{(alpha, eta)}(z)={frac {Gamma (alpha n 1)}{n!,Gamma (alpha eta n 1)}}Summe _{m=0}^{ n}{n wählen m}{frac {Gamma (alpha eta nm 1)}{Gamma (alpha m 1)}}left({frac {z-1}{2}}ight)^{m}}

oder in Bezug auf die hypergeometrische Funktion ${displaystyle _{2}F_{1}}$

{displaystyle P_{n}^{(alpha , eta )}(z)={n alpha wähle n},_{2}F_{1}left(-n,1 n alpha eta ;alpha 1;{frac {1 -z}{2}}Nacht)}

Der Wert für ${Anzeigestil z=1}$ ist

{displaystyle P_{n}^{(alpha, eta)}(1)={n alpha wähle n}}

Sie haben die Symmetriebeziehung

{displaystyle P_{n}^{(alpha, eta)}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(eta,alpha)}(z)}

woraus der Wert für ${Anzeigestil z=-1}$ wird erworben:

{displaystyle P_{n}^{(alpha, eta)}(-1)=(-1)^{n}{n eta wähle n}}

Sie bilden a senkrecht System im Intervall ${Anzeigestil [-1,1]}$ bezüglich der Gewichtsfunktion:

{Anzeigestil w(x)=(1-x)^{alpha}(1x)^{eta}}

Dies bedeutet, dass

{displaystyle int _{-1}^{1}w(x)P_{m}^{(alpha, eta)}(x)P_{n}^{(alpha, eta)}(x),mathrm {d } x={frac {2^{alpha eta 1}}{2n alpha eta 1}}{frac {Gamma (n alpha 1)Gamma (n eta 1)}{Gamma (n alpha eta 1)n!}}delta _{nm}}

Bei welchem ${Anzeigestil-Delta }$ das kronecker delta repräsentiert, also die Elemente der Einheitenmatrix.

Wir sehen also, dass ein legendäres Polynom ${Anzeigestil P_{n}(x)}$ ist ein Spezialfall des Jacobi-Polynoms:

{Anzeigestil P_{n}(x)=P_{n}^{(0,0)}(x)}