WikiDer > Legendre-Polynom

In dem Mathematik ist mit dem Begriff gemeint Legendre-Polynom die Lösungen der Legendre . Differentialgleichung. Manchmal meint man aber die zugehöriges Legendre-Polynom mit dem Begriff Legendre-Polynom.

Differentialgleichung

Die Gleichung, deren Polynome eine Lösung bilden, lautet:

${displaystyle {{m {d}} über {m {d}}x}links[(1-x^{2}){{m {d}} über {m {d}}x}P(x)ight ] n(n1)P(x)=0}$

Beide sind nach dem französischen Mathematiker benannt Adrien-Marie Legendre. Der Vergleich erfolgt regelmäßig im Physik und der Angewandte Wissenschaft, weil die Laplace-Gleichung im Kugelkoordinaten hat die Form dieser Differentialgleichung von Legendre (zumindest für rotationssymmetrische Fälle, für die θ-Abhängigkeit, wobei θ der Polarwinkel ist)^[1].

Eine Standardmethode zur Lösung dieser Gleichung ist die Entwicklung von a Potenzreihe. Die Lösung konvergiert, wenn ${Anzeigestil |x|<1}$. Außerdem ist der Wert endlich für ${displaystyle x=pm 1}$, vorausgesetzt, dass ${displaystyle n}$ ein nicht-negatives gerade Zahl ist. In diesem Fall sind die Lösungen von Vergleich ein Polynom eine Reihe von senkrecht Polynome, die Legendre-Polynome

Beliebiges Legendre-Polynom ${Anzeigestil P_{n}(x)}$ ist ein Polynom vom Grad ${displaystyle n}$ und kann mit dem ausgedrückt werden Rodrigues-Formel:

${displaystyle P_{n}(x)={1 über 2^{n}n!}{{m {d}}^{n} über {m {d}}x^{n}}links[(x^ {2}-1)^{n}Nacht]}$

Orthogonalität

Eine wichtige Eigenschaft der Legendre-Polynome ist, dass sie, wie oben erwähnt, senkrecht beziehen sich auf die ${Displaystil L^{2}}$Innenprodukt auf der Intervall${displaystyle -1leq xleq 1}$:

${displaystyle int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x),{m {d}}x={2 über {2n 1}}Delta _{mn}}$

Darin ist ${displaystyle delta_{mn}}$ das Kronecker Delta was gleich 1 ist, wenn ${Anzeigestil m=n}$ und sonst null.

Eine andere Möglichkeit, die Polynome abzuleiten, besteht darin, die Gram-Schmidt-Methode auf der Innenprodukt der Polynome ${Anzeigestil {1,x,x^{2},ldots}}$ Der Grund für die Orthogonalität der Polynome ist, dass die Legendre-Gleichung als a Sturm-Liouville-Problem

${displaystyle {{m {d}} über {m {d}}x}links[(1-x^{2}){{m {d}} über {m {d}}x}ight]P(x )=-Lambda P(x)}$,

Wert Selbstachtung${ Anzeigestil Lambda }$ entspricht ${Anzeigestil n(n 1)}$.

Eine weitere wichtige Eigenschaft von Legendre-Polynomen besagt, dass:

${displaystyle int limit _{-1}^{1}f(x)P_{n}(x)mathrm {d} x=0}$

sobald ${Anzeigestil f(x)}$ ein Polynom ist vom Grad streng kleiner als ${displaystyle n}$.

Beispiele für Legendre-Polynome

Die ersten Legendre-Polynome sind:

${displaystyle n}$	${Anzeigestil P_{n}(x)}$	Normierungsfaktor
0	${Anzeigestil 1}$	${displaystyle {sqrt { frac {1}{2}}}}$
1	${Anzeigestil x}$	${displaystyle {sqrt { frac {3}{2}}}}$
2	${displaystyle { egin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}(3x^{2}-1)}$	${displaystyle {sqrt { frac {5}{2}}}}$
3	${displaystyle { start{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}(5x^{3}-3x)}$	${displaystyle {sqrt { frac {7}{2}}}}$
4	${displaystyle { egin{matrix}{frac {1}{8}}end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2} 3)}$	${displaystyle {sqrt { frac {9}{2}}}}$
5	${displaystyle { start{matrix}{frac {1}{8}}end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3} 15x)}$	${displaystyle {sqrt { frac {11}{2}}}}$
6	${displaystyle { egin{matrix}{frac {1}{16}}end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4} 105x^{2}-5),}$	${displaystyle {sqrt { frac {13}{2}}}}$

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen der ersten 6 Legendre-Polynome.

Anwendungen in der Physik Toepassing

Legendre-Polynome beweisen ihre Nützlichkeit mit dem Serienentwicklung von Funktionen wie

${displaystyle {frac {1}{left|mathbf {x} -mathbf {x} ^{prime }ight|}}={frac {1}{sqrt {r^{2} r^{prime 2}-2rr' cos gamma }}}=Summe _{k=0}^{infty }{frac {r^{prime k}}{r^{k 1}}}P_{k}(cos gamma)}$

sei hier ${displaystyle r}$ und ${displaystyle r'}$ bzw. die Länge des Vektoren${displaystyle mathbf {x} }$ und ${displaystyle mathbf {x} ^{prime }}$ und ${Displaystil-Gamma }$ ist der Ecke zwischen den beiden Vektoren. Diese Entwicklung ist gültig, wenn ${displaystyle r>r'}$.

Dieses Ausdruck wird zum Beispiel verwendet, um Potenzial von a Punktladung zu finden wie im Punkt zu finden ${displaystyle mathbf {x} }$ wenn die Last am Punkt ist ${displaystyle mathbf {x} '}$ befindet sich. Die Entwicklung ist besonders nützlich, wenn man Integral- über eine kontinuierliche Ladungsverteilung.

Legendre-Polynome treten als Lösungen der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung für die Potenzial${displaystyle abla ^{2}Phi (mathbf {x} )}$, wenn Kugelkoordinaten verwendet werden. Es verwendet die Methode der Variablentrennung und geht von der Achsensymmetrie aus, so dass keine Abhängigkeit von der Azimutalwinkel. ${displaystyle {widehat {mathbf {z}}}}$ stellt die Symmetrieachse dar und ${Anzeigestil-Heta}$ ist der Winkel zwischen dem Beobachter und der Achse ${displaystyle {widehat {mathbf {z}}}}$. Die Lösung lautet dann:

${displaystyle Phi (r,heta )=sum _{k=0}^{infty }left[A_{k}r^{k} B_{k}r^{-(k 1)}ight]P_{k} (cos heta)}$

${Displaystil A_{k}}$ und ${displaystyle B_{k}}$ muss für die Randbedingungen des jeweiligen Problems bestimmt werden^[2].

Legendre-Polynome in Multipolentwicklungen

Figur 2

Das Legendre-Polynom ist auch nützlich bei der Reihenentwicklung der Form

${displaystyle {frac {1}{sqrt {1 eta ^{2}-2eta x}}}=Summe _{k=0}^{infty}eta ^{k}P_{k}(x)}$

Tatsächlich ist dies die gleiche Entwicklung wie oben in einer etwas anderen Form, die sich aus der Serienentwicklung von Multipolen ergibt. Die linke Seite der Gleichung erzeugt Legendre-Polynome

Zum Beispiel das elektrische Potenzial ${Anzeigestil Phi(r,heta)}$ in Kugelkoordinaten, die aus einer Punktladung auf dem ${Anzeigestil z}$-Achse im Punkt ${Anzeigestil z=a}$ (Abb. 2) kann geschrieben werden als

${displaystyle Phi (r,heta)propto {frac {1}{R}}={frac {1}{sqrt {r^{2} a^{2}-2arcos heta }}}}$

Wenn der Radius ${displaystyle r}$ vom Standpunkt der Wahrnehmung ${displaystyle mathbf {P} }$ ist viel größer als ${Anzeigestil a}$, ist es möglich, das Potenzial in Legendre-Polynome zu entwickeln:

${displaystyle Phi (r,heta )propto {frac {1}{r}}sum _{k=0}^{infty }left({frac {a}{r}}ight)^{k}P_{k} (cos heta)}$

hier ist ${displaystyle eta =a/r<1}$${displaystyle x=cos heta }$ genommen.

Im umgekehrten Fall ${displaystyle rll a}$ wir können uns auch zu einem Legendre-Polynom entwickeln, wenn wir die Rolle von einnehmen ${displaystyle r}$ und ${Anzeigestil a}$ umkehren:

Andere Eigenschaften

Legendre-Polynome sind abwechselnd symmetrisch und antisymmetrisch:

${Anzeigestil P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x)}$

Da die Differentialgleichung und die Orthogonalität maßstabsunabhängig sind, ist das Polynom naturgemäß normiert. Dies bedeutet, dass ${Displaystil P_{k}(1)=1}$.

Manchmal heißt das normalisiert, aber das ist ein bisschen verwirrend, weil die Norm schließlich nicht einer:

${displaystyle int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x),mathrm {d} x={2 über {2n 1}}Delta _{mn}}$

Eine orthonormale Version des Polynoms erhält man durch Hinzufügen eines Normierungsfaktors ${displaystyle {sqrt {n { frac {1}{2}}}}}$

${displaystyle P_{n,norm}(x)={{sqrt {n { frac {1}{2}}}} über 2^{n}n!}{{m {d}}^{n} über { m {d}}x^{n}}(x^{2}-1)^{n}}$

Die Ableitung an den Endpunkten ist gegeben durch:

${displaystyle P_{k}'(1)={frac {k(k 1)}{2}}}$

Legendre-Polynome lassen sich mit den Relationen

${Anzeigestil (n 1)P_{n 1}=(2n 1)xP_{n}-nP_{n-1}}$

und

${displaystyle {x^{2}-1 über n}{{m {d}} über {m {d}}x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}}$

Ein nützlicher Ausdruck beim Integrieren des Polynoms ist:

${displaystyle (2n 1)P_{n}={{m {d}} über {m {d}}x}links[P_{n 1}-P_{n-1}ight]}$