WikiDer > Knotentheorie

Knotentheorie ist ein Teilbereich der Topologie. Die Topologie untersucht Eigenschaften von Körpern, die sich bei kontinuierlicher Verformung nicht ändern. Die Knotentheorie untersucht, welche Knoten ineinander verformt werden können. Ein Knoten ist eine mathematische Idealisierung eines Seilstücks, dessen Enden miteinander verbunden sind, also eigentlich ein kreisförmiges Seilstück, das mit sich selbst verheddert ist.

Die den Knoten bildende Raumfigur ist die Einbettung einer geschlossenen Kurve in den dreidimensionalen Raum. Zur genauen Definition wird als Knoten die gesamte Klasse äquivalenter Einbettungen ("Knoten") verstanden. Es ist leicht zu erkennen, dass der Knoten durch die Rotation der Schnur um sich selbst bestimmt wird und nicht durch die weitere räumliche Struktur.

Es gibt wichtige Verbindungen zwischen der Knotentheorie und der Graphentheorie.

Beispiele

• 

  Kreis, der triviale Knoten.

• 

  Das dreiblättrige Kleeblatt oder
  der Kleeblattknoten,
  das einfachste Beispiel für einen nichttrivialen Knoten.

• 

  Der Brezelknoten

Knotendiagramm

In den obigen Beispielen ist die Taste grafisch dargestellt in a Knotendiagramm indem Sie das Bild der Einbettung malen Projekt auf einer Ebene, die so gewählt ist, dass sich das Bild nur endlich oft in klar getrennten Schnittpunkten schneidet. An jeder Kreuzung wird ein herkömmliches Zeichen angebracht, um anzuzeigen, welcher der beiden Teile des Seils "über" dem anderen liegt, beispielsweise indem der "untere" Teil unterbrochen wird.

Verallgemeinerungen

Topologen untersuchen im Allgemeinen die Einbettungen einer gegebenen Mannigfaltigkeit ich in einer höherdimensionalen Vielfalt Nein, bei einer stetigen Verformung von Nein danach behält die Injektivität.

Eine erste offensichtliche Verallgemeinerung ist die Substitution von ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ durch seinen einen PunktVerdichtung, die Drei-Sphäre so³.

Sie sagen, dass M Knoten in N wenn es zwei nicht äquivalente Einbettungen von . gibt ich im Nein existieren.

Die Knotentheorie kann auch in anderen Sortenkategorien praktiziert werden. Zum Beispiel kann man verlangen, dass alle Sorten und Bilder rutschig (unbegrenzt differenzierbar). Es ist bekannt, dass die glatte nein-Atmosphäre verheddert sich nicht im Glatten n 1-Atmosphäre wie nein ist anders als 3 (der Fall nein=3 ist a offenes Problem).

Verwandte Begriffe

EIN flechten ist eine Äquivalenzklasse von Liniendiagrammen in der Ebene bestehend aus nein parallele Linien, und innerhalb dieses Bereiches treten endlich viele orientierte Schnittpunkte auf.

EIN Schalter ist eine Äquivalenzklasse von Einbettungen in den euklidischen Raum einer endlichen Anzahl von disjunkten Kopien des Kreises. Ein Knoten ist ein Sonderfall eines Links. Das Alexander-Polynom ist eigentlich eine Link-Invariante. Beispiele für nicht triviale Links sind die Borromäisches Kreuz, das Borromäische Ringe und andere Brunnische Verbindungen.

Fußnoten

Siehe die Kategorie Knotentheorie von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.