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Diese Tasse und dieser Ring sind homöomorph (eine äquivalente Topologie). Diese Animation ermöglicht es ihnen, sich zu verschmelzen, ohne die Homöomorphie zu brechen.

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Topologie (AltgriechischTopos (τόπος), "Platz Logos (λόγος), "Studium") ist der Zweig der Mathematik die sich mit den Eigenschaften der Platz die unter ständiger Verformung konserviert sind (die Gegenstände dürfen nicht zerrissen oder beklebt werden). Die Topologie ist ein Auswuchs der Geometrie, aber im Gegensatz zur Geometrie befasst sich die Topologie nicht mit metrisch Eigenschaften wie die Entfernung zwischen Punkte, aber mit Eigenschaften, die beschreiben, wie ein Raum zusammengesetzt ist, wie z Kohärenz und Orientierung.

Das Wort Topologie wird sowohl verwendet, um das Studiengebiet selbst anzugeben, als auch um sich auf die Familie der zu beziehen Kollektionen das beschreibt bestimmte Eigenschaften, die verwendet werden, um a . zu machen topologischer Raum zu definieren (das Stammobjekt der Topologie). Von besonderem Interesse beim Studium der Topologie sind die Verformungen, die Homöomorphismen werden genannt. Informell können diese Merkmale als Merkmale angesehen werden, die den Raum dehnen, ohne ihn zu zerreißen oder verschiedene Teile zusammenzukleben. Ein abstrakterer Begriff einer Verzerrung ist a homotope Äquivalenz, ein Konzept, das ebenfalls eine grundlegende Rolle spielt.

Als die Disziplin Ende des 19. Jahrhunderts entstand, hieß sie zunächst Topologie Geometrie situs (Latein: Geometrie des Ortes) und Analysesituation (Latein: Analyse des Ortes). Die Topologie ist mittlerweile zu einem großen Zweig der Mathematik geworden, der wiederum viele Teilgebiete hat. Von etwa 1925 bis 1975 florierte die Topologie und war ein wichtiger Wachstumsbereich der Mathematik.

Die grundlegendste und traditionellste Aufteilung innerhalb der Topologie ist die Drei-Wege-Aufteilung zwischen

• das Punktmengentopologie, das die Grundlagen der Topologie und Konzepte wie Kompaktheit und Kohärenz untersucht;
• das algebraische Topologie, das im Allgemeinen versucht, die Kohärenzgrade zu messen, wobei algebraische Konstruktionen verwendet werden, wie z Homotopiegruppen und Homologie und schlussendlich
• das geometrische Topologie, das ist in erster Linie Sorten und ihre Einbettung in anderen Sorten Studien.

Es sollte jedoch beachtet werden, dass einige der aktivsten Bereiche, wie z niederdimensionale Topologie, passen nicht gut in diese Einteilung.

In vielen anderen Bereichen der Mathematik, wie z Analyse, Geometrie und Algebra, Ideen und Theoreme aus der Topologie werden häufig verwendet. Der Holländer MathematikerLuitzen Egbertus Jan Brouwer leistete in den Anfängen der Topologie wichtige Beiträge zur Entwicklung des Feldes.

Vorwort

In der Topologie sind die untersuchten Objekte topologische Räume. Ein topologischer Raum ist a SammlungX versehen mit a SammlungTeilmengen von X, offene Sammlungen genannt, die zu einer Reihe von Axiome erfüllen. Diese Kollektion selbst ist übrigens auch die Topologie von X erwähnt. weiter gelangen kontinuierlichBilder definiert, sowie Konzepte wie Kompaktheit und Kohärenz. Ein weiteres wichtiges Konzept ist das von Homöomorphismus; Dies ist ein kontinuierliches Bild, das invertierbar (bijektiv) und wessen invers ist auch durchgehend. Gibt es zwischen zwei topologischen Räumen X und Ja ein Homöomorphismus existiert, sind X und Ja (topologisch) „gleich“ in dem Sinne, dass sie ineinander verformt werden können, ohne zu reißen oder zu verkleben.

Das allgemeine Topologie untersucht elementare Eigenschaften topologischer Räume und der Bilder zwischen ihnen. Das algebraische Topologie baut darauf auf, indem Techniken aus der Algebra auf topologische Räume angewendet werden, was zu Konzepten wie dem grundlegende Gruppe und Homologiegruppen eines topologischen Raums.

Geschichte

Das Sieben Brücken von Königsbergen ist vielleicht das erste topologische Problem. Es gibt keine zusammenhängende Route, bei der alle sieben Brücken nur einmal überquert werden.

Der Zweig der Mathematik, der heute als Topologie bezeichnet wird, beginnt mit der Untersuchung einer Reihe offener Fragen in der Geometrie. Eulers Veröffentlichung ab 1736 am Sieben Brücken von Königsbergen gilt als eines der ersten topologischen Ergebnisse.

Der Begriff „Topologie“ wurde erstmals 1847 geprägt deutsche Sprache Vorgestellt von Johann Benedikt-Auflistung in seinem Vorstudien zur Topologie (Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, S. 67, 1848). Aber schon in den zehn Jahren davor benutzte Listing in seiner privaten Korrespondenz das Wort "Topologie". Das Wort wurde 1883 in der Zeitschrift ins Englische eingeführt Natur zwischen "qualitativer Geometrie" und "normaler Geometrie, die sich mit quantitativen Zusammenhängen befasst" zu unterscheiden. Der Begriff Topologe, im Sinne von jemandem, der sich auf Topologie spezialisiert hat, wurde 1905 in der Zeitschrift veröffentlicht Zuschauer benutzt.

Die moderne Topologie ist stark mit den Ideen der Mengenlehre, wie dieser im letzten Abschnitt des 19. Jahrhundert durch George Cantor wurden entwickelt. Cantor untersuchte auch Punktmengen im Euklidischer Raum, im Rahmen seiner Studie über die Fourierreihe.

Veröffentlicht im Jahr 1895 Henri Poincare seine Arbeit, Analysesituation. In dieser Arbeit führte er die Konzepte von Homotopie und Homologie, die heute beide als Teile der algebraischen Topologie betrachtet werden.

Maurice Frechet die Arbeit an den Funktionen von Cantor vereinheitlicht, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli und andere. 1906 führte er den Begriff ein metrischer Raum. Ein metrischer Raum wird nun als Spezialfall eines allgemeinen topologischen Raums angesehen. 1914 Felix Hausdorff der Begriff "topologischer Raum". Er gab auch die Definition dessen, was jetzt a . ist Hausdorff-Raum wird genannt. In der aktuellen Definition von 1922 von Kazimierz Kuratowski, ein topologischer Raum ist eine "leichte" Verallgemeinerung eines Hausdorff-Raums.

Weitere Entwicklungen finden Sie unter Punktmengentopologie und algebraische Topologie.

Mathematische Definition

sehen Topologischer Raum für den Hauptartikel zu diesem Thema.

spät X sei eine beliebige Menge und T ein Familie von Teilmengen von X. Dann ist T ein Topologie auf Xwenn

1. beide leere Sammlung wenn X sein Elemente von T.
2. jeder Verband aus beliebig vielen Elementen von T ist ein Element von T.
3. jeder Überschneidung einer endlichen Anzahl von Elementen von T ist ein Element von T.

wenn T eine Topologie auf X heißt das Paar (X, T) ein topologischer Raum, und man merkt X_T zu einer Sammlung X benennen, das die spezifische Topologie trägt T.

Die Teilmengen von X im T einbiegen in Öffnen Sammlungen genannt. Beachten Sie, dass im Allgemeinen nicht alle Teilmengen von X zur Familie T hören müssen. Aus einer Teilmenge von X sie sagen, dass diese Geschlossen ist, wenn sein ergänzen ist geöffnet, also rein T Lügen. Eine Teilmenge von X kann öffnen, schließen, beide oder beides nicht.

EIN Funktion oder Bild von einem topologischen Raum zum anderen kontinuierlich aufgerufen, wenn das inverse Abbild einer beliebigen offenen Menge ebenfalls offen ist. Wenn die Funktion reale Nummern auf den reellen Zahlen (beide Räume mit der Standardtopologie), dann ist diese Stetigkeitsdefinition äquivalent zur Stetigkeitsdefinition im mathematische Analyse. Wie ein kontinuierliche Funktioneins zu eins und surjektiv (op) und wenn auch die Umkehrung der Funktion stetig ist, dann wird die Funktion a Homöomorphismus und der Bereich der Funktion heißt homöomorph zum Bereich. Anders ausgedrückt: Die Funktion hat eine natürliche Erweiterung der Topologie. Wenn zwei Räume homöomorph sind, haben sie identische topologische Eigenschaften und werden topologisch als gleich betrachtet. Der Würfel und die Atmosphäre sind homöomorph, genau wie die Kaffeetasse und der Donut. Aber die Kreisscheibe ist nicht homöomorph zum Donut.

Beispiele

Siehe den Artikel über topologische Räume für Beispiele dafür. Beispiele für Ergebnisse aus der allgemeinen Topologie sind:

• Jeweils geschlossen Intervall im ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ist von endlicher Länge kompakt. Eine Sammlung ist dann und nur dann kompakt wie diese Kollektion Geschlossen und begrenzt ist (Siehe die Heine-Borel-Theorem).
• Jeder Statue eines kompakten Raums unter einem kontinuierlichen Bild ist kompakt.
• Ein kompakter Unterraum von a Hausdorff-Raum ist kompakt.
• Jede Punktreihe in einem kompakten metrischen Raum hat eine konvergente Teilfolge (Siehe die Satz von Bozen-Weierstraß).
• Jeder Intervall im ${displaystyle mathbb {R} }$ ist kohärent.
• Das Bild eines zusammenhängenden Raumes unter a kontinuierliches Bild ist stimmig.
• Auf einem Tennisball befindet sich immer mindestens eine Krone. Oder gleichbedeutend: Es gibt immer mindestens einen Ort auf der Erde, an dem kein Wind weht.
• Jede kontinuierliche bijektion von a kompakt platz zu a Hausdorff-Raum ist unbedingt a Homöomorphismus.
• Jeder kompakte m-Vielfalt kann werden eingebettet in jedem euklidischen Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.
• EIN metrischer Raum ist Hausdorff-Raum, aber auch normal und parakompakt.
• Das Messbarkeit zählt Bereich notwendige und hinreichende Bedingungen für eine Topologie zu metrisch sein.
• Jeder offene Unterraum von a Baire-Raum ist selbst ein Baire-Raum.
• Jeder verbunden, lokal verbunden und halblokal einfach verbunden Raum hat a has universelle Abdeckung.

Generierte Topologie

Eine Topologie ${displaystyle {mathcal {T}}}$ des topologischen Raums ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ heiß von der Untermenge erzeugt ${displaystyle {mathcal {V}}}$ von ${displaystyle {mathcal {T}}}$, wenn jedes Element von ${displaystyle {mathcal {T}}}$ ist die (möglicherweise unendliche) Vereinigung von Elementen aus ${displaystyle {mathcal {V}}}$.

Räumliche Informationen

Innerhalb Geografisches Informationssystem Topologie wird angewendet, um die räumlichen Beziehungen zwischen Elementen oder Objekten (z. B. Punkte, Linien und Polygone) anzuzeigen. Dies bezieht sich nicht speziell auf x- und y-Koordinaten.