WikiDer > Функция Ламе - Википедия

В математике Функция Ламе, или же эллипсоидальная гармоническая функция, является решением Уравнение Ламе, второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение. Он был представлен в статье (Габриэль Ламе 1837). Уравнение Ламе появляется в методе разделение переменных применяется к Уравнение лапласа в эллиптические координаты. В некоторых частных случаях решения могут быть выражены в терминах многочленов, называемых Многочлены Ламе.

Уравнение Ламе

Уравнение Ламе:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + (A + B wp (x)) y = 0,}$

куда А и B - константы, а ${ displaystyle wp}$ это Эллиптическая функция Вейерштрасса. Самый важный случай - это когда ${ displaystyle B wp (x) = - kappa ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} x}$, куда ${ displaystyle operatorname {sn}}$ эллиптическая синусоидальная функция, и ${ Displaystyle каппа ^ {2} = п (п + 1) к ^ {2}}$ для целого числа п и ${ displaystyle k}$ эллиптический модуль, и в этом случае решения расширяются до мероморфных функций, определенных на всей комплексной плоскости. Для других значений B решения имеют точки разветвления.

Заменив независимую переменную на ${ displaystyle t}$ с ${ displaystyle t = operatorname {sn} x}$, Уравнение Ламе также можно переписать в алгебраической форме как

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + { frac {1} {2}} left ({ frac {1} {t-e_ {1}} } + { frac {1} {t-e_ {2}}} + { frac {1} {t-e_ {3}}} right) { frac {dy} {dt}} - { frac {A + Bt} {4 (t-e_ {1}) (t-e_ {2}) (t-e_ {3})}} y = 0,}$

который после замены переменной становится частным случаем Уравнение Гойна.

Более общая форма уравнения Ламе - это эллипсоидальное уравнение или же эллипсоидальное волновое уравнение который можно записать (заметьте, теперь мы пишем ${ displaystyle Lambda}$, нет ${ displaystyle A}$ как указано выше)

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + ( Lambda - kappa ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} x- Omega ^ {2} k ^ {4} operatorname {sn} ^ {4} x) y = 0,}$

куда ${ displaystyle k}$ - эллиптический модуль эллиптических функций Якоби и ${ displaystyle kappa}$ и ${ displaystyle Omega}$ являются константами. За ${ displaystyle Omega = 0}$ уравнение становится уравнением Ламе с ${ displaystyle Lambda = A}$. За ${ displaystyle Omega = 0, k = 0, kappa = 2h, Lambda -2h ^ {2} = lambda, x = z pm { frac { pi} {2}}}$ уравнение сводится к Уравнение Матье

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} + ( lambda -2h ^ {2} cos 2z) y = 0.}$

Форма Вейерштрасса уравнения Ламе совершенно не подходит для вычислений (как также отмечает Арскотт, стр. 191). Наиболее подходящей формой уравнения является якобианская форма, как указано выше. Алгебраические и тригонометрические формы также неудобны в использовании. Уравнения Ламе возникают в квантовой механике как уравнения малых флуктуаций относительно классических решений, называемые периодические инстантоны, отскоки или пузыри - уравнений Шредингера для различных периодических и ангармонических потенциалов.^[1][2]

Асимптотические разложения

Асимптотические разложения периодических эллипсоидальных волновых функций, а вместе с тем и функций Ламе при больших значениях ${ displaystyle kappa}$ были получены Мюллером.^[3][4][5]Полученное им асимптотическое разложение для собственных значений ${ displaystyle Lambda}$ это с ${ displaystyle q}$ приблизительно нечетное целое число (и более точно определяется граничными условиями - см. ниже),

${ displaystyle { begin {align} Lambda (q) = {} & q kappa - { frac {1} {2 ^ {3}}} (1 + k ^ {2}) (q ^ {2} +1) - { frac {q} {2 ^ {6} kappa}} {(1 + k ^ {2}) ^ {2} (q ^ {2} +3) -4k ^ {2} (q ^ {2} +5) } [6pt] & {} - { frac {1} {2 ^ {10} kappa ^ {2}}} { Big {} (1 + k ^ {2}) ^ {3} (5q ^ {4} + 34q ^ {2} +9) -4k ^ {2} (1 + k ^ {2}) (5q ^ {4} + 34q ^ {2 } +9) [6pt] & {} - 384 Omega ^ {2} k ^ {4} (q ^ {2} +1) { Big }} - cdots, end {align}} }$

(еще один (пятый) член, не приведенный здесь, был вычислен Мюллером, первые три члена также были получены Инсе^[6]). Соблюдайте, что члены поочередно четные и нечетные ${ displaystyle q}$ и ${ displaystyle kappa}$ (как и в соответствующих расчетах для Функции Матье, и сплюснутые сфероидальные волновые функции и вытянутые сфероидальные волновые функции). Со следующими граничными условиями (в которых ${ Displaystyle К (к)}$ - четверть периода, заданная полным эллиптическим интегралом)

${ displaystyle operatorname {Ec} (2K) = operatorname {Ec} (0) = 0, ; ; operatorname {Es} (2K) = operatorname {Es} (0) = 0,}$

так же хорошо как основной значение производной)

${ displaystyle ( operatorname {Ec}) _ {2K} ^ {'} = ( operatorname {Ec}) _ {0} ^ {'} = 0, ; ; ( operatorname {Es}) _ { 2K} ^ {'} = ( operatorname {Es}) _ {0} ^ {'} = 0,}$

определяя соответственно эллипсоидальные волновые функции

${ displaystyle operatorname {Ec} _ {n} ^ {q_ {0}}, operatorname {Es} _ {n} ^ {q_ {0} +1}, operatorname {Ec} _ {n} ^ { q_ {0} -1}, operatorname {Es} _ {n} ^ {q_ {0}}}$

периодов ${ displaystyle 4K, 2K, 2K, 4K,}$ и для ${ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ldots}$ можно получить

${ displaystyle q-q_ {0} = mp 2 { sqrt { frac {2} { pi}}} left ({ frac {1 + k} {1-k}} right) ^ { - kappa / k} left ({ frac {8 kappa} {1-k ^ {2}}} right) ^ {q_ {0} / 2} { frac {1} {[(q_ { 0} -1) / 2]!}} Left [1 - { frac {3 (q_ {0} ^ {2} +1) (1 + k ^ {2})} {2 ^ {5} kappa}} + cdots right].}$

Здесь верхний знак относится к решениям ${ displaystyle operatorname {Ec}}$ и нижний к решениям ${ displaystyle operatorname {Es}}$. Наконец расширяется ${ displaystyle Lambda (q)}$ о ${ displaystyle q_ {0},}$ можно получить

${ displaystyle { begin {align} Lambda _ { pm} (q) simeq {} & Lambda (q_ {0}) + (q-q_ {0}) left ({ frac { partial Lambda} { partial q}} right) _ {q_ {0}} + cdots [6pt] = {} & Lambda (q_ {0}) + (q-q_ {0}) kappa left [1 - { frac {q_ {0} (1 + k ^ {2})} {2 ^ {2} kappa}} - { frac {1} {2 ^ {6} kappa ^ { 2}}} {3 (1 + k ^ {2}) ^ {2} (q_ {0} ^ {2} +1) -4k ^ {2} (q_ {0} ^ {2} + 2q_ { 0} +5) } + cdots right] [6pt] simeq {} & Lambda (q_ {0}) mp 2 kappa { sqrt { frac {2} { pi}} } left ({ frac {1 + k} {1-k}} right) ^ {- kappa / k} left ({ frac {8 kappa} {1-k ^ {2}}} right) ^ {q_ {0} / 2} { frac {1} {[(q_ {0} -1) / 2]!}} { Big [} 1 - { frac {1} {2 ^ {5} kappa}} (1 + k ^ {2}) (3q_ {0} ^ {2} + 8q_ {0} +3) [6pt] & {} + { frac {1} {3.2 ^ {11} kappa ^ {2}}} {3 (1 + k ^ {2}) ^ {2} (9q_ {0} ^ {4} + 8q_ {0} ^ {3} -78q_ {0 } ^ {2} -88q_ {0} -87) [6pt] & {} + 128k ^ {2} (2q_ {0} ^ {3} + 9q_ {0} ^ {2} + 10q_ {0} +15) } - cdots { Big]}. End {выравнивается}}}$

В пределе уравнения Матье (к которому можно свести уравнение Ламе) эти выражения сводятся к соответствующим выражениям для случая Матье (как показано Мюллером).

Примечания

Рекомендации

• Арскотт, Ф. М. (1964), Периодические дифференциальные уравнения, Оксфорд: Pergamon Press, стр. 191–236.
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF), Bateman Manuscript Project, Vol. III, Нью-Йорк – Торонто – Лондон: Макгроу-Хилл, стр. XVII + 292, МИСТЕР 0066496, Zbl 0064.06302.
• Ламе, Г. (1837), "Sur les surface isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température", Journal de mathématiques pures et appliquées, 2: 147–188. Доступны на Галлика.
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Ламе», Энциклопедия математики, EMS Press
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Функция Ламе», Энциклопедия математики, EMS Press
• Фолькмер, Х. (2010), «Функция Ламе», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МИСТЕР 2723248
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. У. (2012), Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific