WikiDer > Landau-Dämpfung

Landauer Dämpfung, benannt nach dem RussischPhysikerLev Davidovich Landau, ist das Phänomen, dass Wellen in einem kollisionsfreien Gas kann noch stumm geschaltet werden. Landau bewiesen^[1] dies für den Spezialfall der Langmuir-Wellen (siehe Plasmawellen), aber das Phänomen ist grundlegend für die Theorie eines Vielteilchensystems. Das kann auch a sein Galaxis dort sind Kollisionen extrem selten, aber die Sterne beeinflussen sich kollektiv durch Schwere. Hier werden nur Langmuir-Wellen im Vlassov-Plasma betrachtet.

Welle-Teilchen-Wechselwirkung

Die Landau-Dämpfung entsteht durch den Energieaustausch einer Welle mit Elektronen deren Geschwindigkeit ungefähr gleich der Phasengeschwindigkeit der Welle ${displaystyle v_{f}}$. Elektronen mit etwas geringerer Geschwindigkeit werden von der Welle beschleunigt, während Elektronen mit etwas schnellerer Geschwindigkeit ${displaystyle v_{f}}$ sich verspäten. Wenn es mehr langsamere als schnellere Elektronen gibt, dann ist der Nettoeffekt eine Wellendämpfung.

Es ist etwas ähnlich zu Surfer in einem Tal zwischen zwei Meereswellen. Wenn Sie etwas langsamer als die Wellen fahren, werden Sie überholt und gewinnen an Geschwindigkeit. Wenn Sie etwas schneller fahren, verlieren Sie beim Aufsteigen der Welle an Geschwindigkeit.

Theorie

Die mathematische Behandlung beginnt mit dem Wlassow-Gleichung (ohne ein MagnetfeldB) und der erste der Maxwell-Gleichungen, die Poisson-Gleichung. Explizite Lösungen können im Grenzbereich eines kleinen erhalten werden elektrisches FeldE. Die Verteilungsfunktion ${displaystyle f}$ und ${Anzeigestil E}$ einbiegen in in Serie entwickelt:

${displaystyle f=f_{0}(v) f_{1}(x,v,t) f_{2}(x,v,t) cdots }$

und

${displaystyle E=E_{1}(x,t) E_{2}(x,t) cdots }$

Im erste Bestellung sind die Vlassov-Poisson-Gleichungen:

${displaystyle (partial _{t} vpartial _{x})f_{1} {e über m}E_{1}f'_{0}=0}$

und

${displaystyle partiell _{x}E_{1}={e über Epsilon _{0}}int f_{1}{m {d}}v}$

Landau berechnete die durch die anfängliche Störung verursachte Welle ${displaystyle f_{1}(x,v,0)=g(v)exp(ikx)}$ und gefunden mit Laplace-Transformation und Konturintegration eine gedämpfte Wanderwelle der Form ${displaystyle exp[ik(x-v_{f}t)-gamma t]}$ mit Wellenzahl${displaystyle k}$ und ein Dämpfungsdekrement

${displaystyle gamma ca. -{pi omega _{p}^{3} über 2k^{2}N}f'_{0}(v_{f}),quad N=int f_{0}{m {d} }v}$

Darin ist ${displaystyle omega_{p}}$ das Plasmafrequenz und ${Displaystil N}$ die Elektronendichte.

Später bewiesen Nico van Kampen^[2] dass das gleiche Ergebnis mit a . erhalten werden kann Fourier-Transformation. Er bewies, dass das Vlasov-Poisson-System ein kontinuierliches Frequenzspektrum von singulär Eigenfunktionen ist seither bekannt als der Kampener Mode

${displaystyle {frac {omega _{p}^{2}}{kN}}f'_{0}{frac {mathcal {P}}{kv-omega }} Epsilon-Delta (v-{frac {omega }{ k}})}$

in welchem ${displaystyle {mathcal {P}}}$ bezeichnet den Cauchy-Hauptwert, ${Anzeigestil-Delta }$ die Dirac-Delta-Funktion (siehe ( verallgemeinerte Funktion) und

${displaystyle epsilon =1-{frac {omega _{p}^{2}}{kN}}int f'_{0}{frac {mathcal {P}}{kv-omega }}{m {d}} f}$

ist die Permittivität des Plasmas. Durch Zerlegen der Anfangsstörung in diese Eigenfunktionen fand er das Fourier-Spektrum der Welle. Die Dämpfung kann als Phasenmischung dieser Fourier-Moden mit Frequenzen in der Nähe von . erklärt werden ${displaystyle omega_{p}}$.

Es war nicht klar, wie Dämpfung in einem kollisionsfreien Plasma möglich ist: Die Wellenenergie war hier der Wringschuh. In der Kontinuumstheorie^[3] des Plasmas ist die Energie der Langmuir-Wellen bekannt: die Feldenergie multipliziert mit dem Brillouin-Faktor ${displaystyle partiell _{omega }(omega epsilon)}$.Aber die Dämpfung wird in diesem Plasmamodell nicht verstanden. Um den Energieaustausch mit Resonanzelektronen zu berechnen, muss die Vlassov-Plasmatheorie auf in . erweitert werden zweite Bestellung entwickelt werden können, aber dann treten Probleme mit geeigneten Anfangsbedingungen und singulären Termen auf.

Die Energiedichte eines sich mit der Gruppengeschwindigkeit ausbreitenden Wellenpakets.

Ausgangsbedingungen sind gefunden^[4] die ein singuläres Verhalten unterdrücken und eine Welle erzeugen, deren Energie mit der Kontinuumstheorie übereinstimmt. Es ist ein Wellenpaket statt einer unendlichen Welle ${displaystyle exp(ikx)}$ weil es in zweiter Ordnung schlechte Ergebnisse liefert. Die Abbildung zeigt die Energiedichte des sich mit der ausbreitenden Wellenpakets Gruppengeschwindigkeit (sehen Fortpflanzungsrate) und dämpft durch Energieübertragung auf Elektronen mit der Phasengeschwindigkeit. Die Gesamtenergie, die Fläche unter den Kurven, bleibt erhalten.

In einem sehr langen Artikel^[5] ist Landaudamping bewährt für die nichtlinear Vlassov-Gleichung, also ohne Reihenentwicklung. Es ist ein Existenzbeweis, keine explizite Lösung.