WikiDer > Linienintegral

Das Linienintegral über einem Skalarfeld ${displaystyle f}$ kann man sich als die Fläche unter der Kurve vorstellen ${Anzeigestil C}$, auf einer Oberfläche gelegen ${Anzeigestil z=f(x,y)}$, die durch das Skalarfeld beschrieben wird.

EIN Linienintegral ist eine der Verallgemeinerungen des klassischen (riemannse) ganzheitliches Konzept für mehrdimensionale Räume. Es Domain der gegebenen Funktion ist nicht mehr reell Intervall, aber stückweise differenzierbar Kurve in einem mehrdimensionalen Raum (oder allgemeiner a Vielfalt auf denen a Bogenlänge Wurde definiert).

Um das Linienintegral der Skalarfunktion zu erhalten ${displaystyle f}$ über dem Bogen ${Anzeigestil AB}$ auf der Kurve ${Anzeigestil K}$ um zu bestimmen, wird der Bogen unterteilt in ${displaystyle n}$ Stücke durch die Punkte do ${displaystyle x_{0},x_{1},ldots ,x_{n}}$. Diese Unterteilung umfasst a Riemann-Summe

${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}f(a_{k})Delta s_{k}}$,

in welchem ${displaystyle Delta s_{k}}$ die Länge des Bogens zwischen den Punkten ${displaystyle x_{k-1}}$ und ${displaystyle x_{k}}$ ist und ${displaystyle a_{k}}$ ein Punkt auf diesem Bogen. Konvergieren in einem bestimmten Grenzwertprozess die Riemannschen Summen bei der vorherigen Verfeinerung der Division, so heißt der Grenzwert Linienintegral

${displaystyle int _{AB}f,mathrm {d}s}$

Schaltkreisintegral

Wenn die Kurve ${Anzeigestil C}$ über die die Integration abgeschlossen ist, hat der Startpunkt keinen Einfluss auf das Geradenintegral. So kann man über a integrate integrieren freie Schleife. Man spricht dann von a Schaltungsintegral oder Konturintegral, notiert als:

${displaystyle {}oint _{C}f,mathrm {d}s}$

Parametrierung

Wenn der Bogen ${Anzeigestil AB}$ wird parametriert durch die bijektion

${displaystyle g:[a,b] oder mathbb {R} ^{n}}$,

in welchem ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ Vektoren im Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ Sei etwas ${Anzeigestil A=g(a)}$ und ${Anzeigestil B=g(b)}$, kann das Linienintegral geschrieben werden als:

${displaystyle int _{AB}f,mathrm {d} s=int _{a}^{b}f(g(t)),|g'(t)|,mathrm {d} t}$

Darin ist ${displaystyle t}$ der Parameter, mit dem es durch ${displaystyle g}$ definierte Flugbahn im Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ Der Wert eines skalaren Linienintegrals hängt von der Funktion ${displaystyle f}$ und vom Bogen ${Anzeigestil AB}$ aber nicht von der Parametrisierung, die verwendet wird, um diesen Bogen zu durchlaufen, noch von der Bedeutung, in der er durchlaufen wird.

Beispiel

Ist eine Tour durch a Wendel länger als ein Kreis mit gleichem Radius? Wir geben die Helix für ${Anzeigestil 0$ durch:

${Anzeigestil x(t)=ho cos(2pi t)}$

${displaystyle y(t)=ho sin(2pi t)}$

${Anzeigestil z(t)=alpha t}$

Die Länge ${Anzeigestil L}$ des Bogens in einer Umrundung (von ${Anzeigestil A}$ zu ${Anzeigestil B}$) ist:

${displaystyle L=int _{AB}1,mathrm {d} s=int _{0}^{1}|g'(t)|,mathrm {d} t=}$

${displaystyle =int _{0}^{1}{sqrt {(2pi ho )^{2}(sin ^{2}(2pi t) cos ^{2}(2pi t)) alpha ^{2}}} ,mathrm {d} t={sqrt {(2pi ho )^{2} alpha ^{2}}}}$,

also solange die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit rechten Seiten die Tonhöhe de ${displaystyle alpha }$ und der Umfang eines Kreises mit Radius ${Anzeigestil ho}$. Der Umfang eines Kreises ist also kleiner als diese Weglänge, wenn ${displaystyle alpha eq 0}$.

Komplexes Linienintegral

In dem komplexe Analyse kann das produkt ${displaystyle F(a_{k},b_{k})Delta s_{k}}$ als Multiplikation von interpretiert werden komplexe Zahlen. Das erste wichtige Ergebnis der komplexe Analyse hört sich so an

Integralsatz von Cauchy

Wenn es Domain einer komplex differenzierbaren, holomorphen Funktion einzigartig verbunden (d.h. „hat keine Löcher“), dann ist das Linienintegral dieser Funktion zwischen zwei gegebenen Punkten im Gebiet unabhängig vom gewählten Weg. Ein Beispiel stellt das Gravitationsfeld dar. Dieser Satz lässt sich wie folgt formulieren:

${displaystyle oint _{C}f(z),mathrm {d} z=0}$

Jedes Kreisintegral einer solchen Funktion ist daher gleich Null.