WikiDer > Формула Лейбница для π

Leibniz formula for π
Увидеть Список вещей, названных в честь Готфрида Лейбница для других формул, известных под тем же именем.

В математика, то Формула Лейбница для π, названный в честь Готфрид Лейбниц, утверждает, что

ан чередующийся ряд. Его еще называют Мадхава-Лейбниц серия, как это особый случай разложения в более общий ряд для обратная тангенс функция, впервые обнаруженная индийским математиком Мадхава Сангамаграмы в 14 веке этот конкретный случай впервые опубликовал Лейбниц около 1676 года.[1] Сериал для обратная тангенс функция, также известная как Серия Григория, может быть дано:

Формула Лейбница для π/4 можно получить, положив Икс = 1 в эту серию.[2]

Это тоже Дирихле. L-серии непринципиальных Dirichlet персонаж модуля 4 оценивается при s = 1, а значит, и значение β(1) из Бета-функция Дирихле.

Доказательство

Учитывая только интеграл в последней строке, мы имеем:

Поэтому по теорема сжатия, так как п → ∞ остаемся с серией Лейбница:

Конвергенция

Сравнение сходимости формулы Лейбница () и несколько исторических бесконечных серий для π. Sп это приближение после взятия п термины. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Формула Лейбница сходится чрезвычайно медленно: она показывает сублинейная сходимость. Расчет π до 10 правильных десятичных знаков с использованием прямого суммирования ряда требует около пяти миллиардов членов, потому что 1/2k + 1 < 10−10 за k > 5 × 1091/2.

Однако формулу Лейбница можно использовать для расчета π с высокой точностью (сотни цифр и более) с использованием различных ускорение схождения техники. Например, Трансформация хвостовика, Преобразование Эйлера или Преобразование Ван Вейнгаардена, которые являются общими методами для знакопеременных рядов, могут быть эффективно применены к частным суммам ряда Лейбница. Кроме того, попарное объединение членов дает не чередующийся ряд

которые можно оценить с высокой точностью из небольшого количества терминов, используя Экстраполяция Ричардсона или Формула Эйлера – Маклорена. Этот ряд также можно преобразовать в интеграл с помощью Формула Абеля – Планы и оценены с использованием методов для численное интегрирование.

Необычное поведение

Если в нужный момент серия обрезана, десятичное разложение приближения согласуется с π для гораздо большего числа цифр, за исключением отдельных цифр или групп цифр. Например, если взять пять миллионов условий доходности

где подчеркнутые цифры неправильные. Фактически ошибки можно предсказать; они порождаются Числа Эйлера Eп согласно асимптотический формула

где N целое число, кратное 4. Если N выбрано в виде степени десяти, каждый член в правой сумме становится конечной десятичной дробью. Эта формула является частным случаем формулы суммирования булевых чисел для чередующихся рядов, предоставляя еще один пример техники ускорения сходимости, которая может быть применена к рядам Лейбница. В 1992 г. Джонатан Борвейн и Марк Лимбер использовал первую тысячу чисел Эйлера для вычисления π до 5263 знаков после запятой по формуле Лейбница.

Произведение Эйлера

Формулу Лейбница можно интерпретировать как Серия Дирихле используя уникальный неглавный Dirichlet персонаж по модулю 4. Как и другие ряды Дирихле, это позволяет преобразовать бесконечную сумму в бесконечный продукт по одному члену для каждого простое число. Такой товар называется Произведение Эйлера. Это:

В этом продукте каждый термин является сверхчастичное соотношение, каждый числитель представляет собой нечетное простое число, а каждый знаменатель является ближайшим к числителю кратным 4.[3]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Чарльз Генри Эдвардс (1994). Историческое развитие математического анализа. Springer Study Edition Series (3-е изд.). Springer. п. 247. ISBN 978-0-387-94313-8.
  2. ^ Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции, Издательство Кембриджского университета, п. 58, ISBN 0-521-78988-5
  3. ^ Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия, World Scientific, стр. 214, г. ISBN 9781848165267.

использованная литература

  • Джонатан Борвейн, Дэвид Бейли и Роланд Гирдженсон, Эксперименты в математике - вычислительные пути к открытиям, А. К. Питерс 2003, ISBN 1-56881-136-5, страницы 28–30.

внешняя ссылка