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EIN linearer Unterraum ist in der Lineare Algebra ein Teilmenge von a Vektorraum der mit derselben Addition und Skalarmultiplikation wie in diesem Raum selbst auch ein Vektorraum ist.

Die Untermenge ${Anzeigestil W}$ eines Vektorraums ${Anzeigestil V}$ ist ein linearer Unterraum von ${Anzeigestil V}$ als Addition und Skalarmultiplikation von ${Anzeigestil V}$im Inneren sind in ${Displaystil W.}$ Dies kommt in der folgenden Aussage zum Ausdruck.

Gestell

Sie ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum über einen Körper (Ned) / Feld (Be)${Anzeigestil K}$ mit Zusatz "${Anzeigestil}$" und Skalarmultiplikation "${displaystyle cdot }$". Eine Teilmenge ${Anzeigestil W}$ von ${Anzeigestil V}$ ist ein linearer Unterraum von ${Anzeigestil V}$, wenn ${Anzeigestil W}$ nicht leer ist und für alle ${displaystyle w,w'in W}$ und ${Anzeigestil Alpha in K}$ zählt das ${displaystyle w w'in W}$ und ${displaystyle alpha cdot win W}$ (mit anderen Worten: ${displaystyle (W imes W)subseteq W}$ und ${displaystyle cdot (Kimes W)subseteq W}$).

Beweise

Es ist klar, dass die Bedingungen notwendig sind, praktisch alle Anforderungen an einen Vektorraum folgen trivial aus den Bedingungen, denn ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum ist; für jedes Element von ${Anzeigestil W}$ ist die Skalarmultiplikation mit −1 die Inverse und die Multiplikation mit 0 ist die neutrales Element.

Folge

Ein Unterraum kann also niemals leer sein, weil er mindestens das neutrale Element 0 enthält, für das gilt: ${Anzeigestil x 0=x=0 x}$. Auch dieses neutrale Element 0 ist eindeutig.

Beispiele

Beispiel 1

Erwägen ${Anzeigestil V}$ der Vektorraum aller Polynome (auch geschrieben als ${displaystyle mathbb {R} [X]}$ oder ${displaystyle a bX cX^{2} cdots }$) und ${Anzeigestil W}$ die Menge der Polynome, bei denen alle Terme gerade Potenzen haben (${displaystyle W=a bX^{2} cX^{4} cdots }$) sowohl mit der trivialen Addition als auch mit der Skalarmultiplikation. Dann ist ${Anzeigestil W}$ eine Teilmenge von ${Anzeigestil V}$, denn die Summe zweier Polynome mit nur geraden Potenzen ist wieder ein Element von ${Anzeigestil W}$. Das gleiche gilt für die Skalarmultiplikation.

Beispiel 2

Sie ${Anzeigestil V}$ der Vektorraum abzählbar unendlicher Folgen reeller Zahlen (${displaystyle mathbb {R^{N}} }$). Dann das Set ${Anzeigestil W}$ aller Vektoren in ${Anzeigestil V}$ mit nur endlich vielen Elementen ungleich 0 ist ein reeller linearer Unterraum von ${Displaystil W.}$