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Vektoraddition und Skalarmultiplikation, hier dargestellt für einen sehr einfachen Vektorraum, die flache (euklidische) Ebene: ein Vektor ${Anzeigestil v}$ (blau) wird zu einem anderen Vektor hinzugefügt ${Anzeigestil w}$ (rot, oberes Bild). Im unteren Bild, ${Anzeigestil w}$ um den Faktor 2 gestreckt, das ist die Summe ${displaystyle v2w}$ ergibt.

EIN Vektorraum, ebenfalls linearer Raum genannt, ist ein mathematische Struktur die durch eine Ansammlung von Elementen gebildet wird, die Vektoren die sich addieren und mit Zahlen multiplizieren lassen, die in diesem Zusammenhang Skalare werden genannt. Oft die Skalares reale Nummern, man kann aber auch Vektorräume betrachten, in denen die Skalare komplexe Zahlen, Rationale Zahlen oder sehr allgemeine Elemente eines beliebigen Feld (Flämisch) oder Körper (Niederländisch) sein. Das Betrieb der Vektoraddition und Skalarmultiplikation müssen bestimmte Anforderungen erfüllen, die sogenannte Axioms (Liste siehe unten).

Das Euklidischer Vektorraum ist ein Beispiel für einen Vektorraum für jede Dimension. Der zwei- und dreidimensionale euklidische Vektorraum wird oft verwendet, um Physiker Mengen, wie z Kräfte : Zwei beliebige Kräfte (des gleichen Typs) können addiert werden, um eine dritte Kraft, die Resultierende, zu ergeben, und die skalare Multiplikation eines Kraftvektors mit einem reellen Faktor ist wieder ein Kraftvektor. wenn mehr geometrisch Bilden Sie beispielsweise Vektoren, die Übersetzungen in dem eben oder im dreidimensionalPlatz Anzeige, einschließlich Vektorräume.

Vektorräume sind ein wichtiges Studienfach innerhalb der Lineare Algebra. Die Theorie wird weiter bereichert, indem man einem Vektorraum eine zusätzliche Struktur hinzufügt, wie zum Beispiel a Norm oder ein internes Produkt, gewähren. Solche Vektorräume kommen natürlicherweise im mathematische Analyse, vor allem in der Gestalt von unendlich-dimensional Veranstaltungsräume deren Vektoren Funktionen sein. Eine wichtige Frage ist, ob a Warteschlange Vektoren zu einem bestimmten Vektor konvergiert. Die Antwort auf diese Frage kann durch das Studium von Vektorräumen mit zusätzlichen Daten gegeben werden, normalerweise Vektorräume, die mit einer geeigneten Topologie ausgestattet sind, was Konzepte wie concepts Nähe und Kontinuität in Erwägung ziehen. Diese Art von bereichert topologische Vektorräume, bestimmtes banach räume und hilbert räume, haben eine reichere Theorie.

Historisch gesehen lassen sich die ersten Ideen, die zu Vektorräumen führten, bis ins 17. Jahrhundert zurückverfolgen analytische Geometrie, Matrizen, lineare Gleichungssysteme und euklidische Vektoren. Die moderne, abstraktere Behandlung wurde erstmals im späten 19. Giuseppe Peano formuliert und umfasst allgemeinere Objekte als den euklidischen Raum. Ein Großteil der Theorie kann als Erweiterung klassischer geometrischer Ideen angesehen werden, wie z Linien, Ebenen und ihre höherdimensionalen Verallgemeinerungen.

Vektorräume kommen in der gesamten Mathematik vor, die Naturwissenschaften und der Technik. Sie sind das geeignete algebraische Konzept, um mit linearen Gleichungssystemen umzugehen. Sie bieten auch einen Rahmen für die die Fourierreihe, die in verwendet werden Algorithmen vor dem Bildkompression, und bieten eine Umgebung, die für Lösungstechniken verwendet werden kann für partielle Differentialgleichungen. Außerdem liefern Vektorräume eine abstrakte, koordinatenfrei Umgang mit geometrischen und physikalischen Objekten, wie z Tensoren, die wiederum die lokalen Eigenschaften von Sorten durch Linearisierungstechniken. Das Konzept des Vektorraums kann auch in mehrere Richtungen verallgemeinert werden, was zu fortgeschrittenen Konzepten in Geometrie und abstrakte Algebra.

Definition

Ein Vektorraum über a Körper (Ned) / Feld (Be)${Anzeigestil K}$ ist ein Sammlung von Elemente, bezeichnet als Vektoren, auf denen zwei Operationen definiert sind: a Zusatz von zwei Vektoren, bezeichnet mit "${Anzeigestil}$", und ein Skalarmultiplikation eines Elements aus ${Anzeigestil K}$ (ein Skalar) mit einem Vektor, bezeichnet mit "${Anzeigestil *}$" oder "${displaystyle cdot }$" (oft wird auch der Operator weggelassen). Diese Operationen müssen folgende Bedingungen erfüllen:

Für drei beliebige (unterschiedliche oder nicht) Vektoren ${displaystyle u,v,win V}$ und zwei beliebige Skalare ${displaystyle a,bin K}$ gilt:

1. ${displaystyle vw}$ ist wieder ein Vektor in ${Anzeigestil V}$,
   ${Anzeigestil V}$ ist Geschlossen unter Hinzufügung von Vektoren
2. ${Anzeigestil u(vw)=(uv)w}$
   Die Addition von Vektoren ist assoziativ.
3. Es gibt ein Element ${displaystyle mathbf {0} in V}$, so dass für alle Vektoren ${Displayflosse V}$ gilt: ${displaystyle mathbf {0} v=v=v mathbf {0} .}$
   Das Element ${displaystyle mathbf {0} }$ wird es sein neutrales Element oder der Nullvektor (es kann gezeigt werden, dass das neutrale Element eindeutig ist). Da es selten zu Verwirrung führt, schreibt man auch einfach 0 statt ${displaystyle mathbf {0} .}$
4. Für alle Vektoren ${Anzeigestil v}$ Gibt es einen Vektor? ${displaystyle -v}$ so dass ${displaystyle v(-v)=mathbf {0} }$
   Der Vektor ${displaystyle -v}$ Sie nennen es invers Element oder der entgegengesetzte Vektor von ${Anzeigestil v}$.
5. ${Anzeigestil v w = w v}$
   Die Addition von Vektoren ist kommutativ.
6. ${displaystyle a*v}$ ist ein weiterer Vektor aus ${Anzeigestil V}$
   ${Anzeigestil V}$ ist unter der Skalarmultiplikation abgeschlossen.
7. ${Anzeigestil a*(b*v)=(ab)*v}$
   Die Skalarmultiplikation ist gemischt assoziativ.
8. Wenn 1 es Einheitselement ist von ${Anzeigestil K}$, gilt ${Anzeigestil 1*v=v}$.
   Das Einheitselement aus ${Anzeigestil K}$ ist das neutrale Element für die Skalarmultiplikation.
9. ${Anzeigestil a*(vw)=a*v a*w}$
   Die Skalarmultiplikation ist verteilend über die Addition von Vektoren.
10. ${Anzeigestil (a b)*v=a*v b*v}$
    Die Skalarmultiplikation ist über die Addition von Skalaren distributiv. Beachten Sie, dass mit "${Anzeigestil a b}$" die Addition von zwei Skalaren in ${Anzeigestil K}$ ist gemeint. Dies ist nicht dieselbe Addition wie die Addition von Vektoren in ${Anzeigestil V}$.

Die Eigenschaften 1 bis 5 entsprechen der Eigenschaft, die ${Anzeigestil V}$ ein abelsche oder kommutative Gruppe steht unter dem Zusatz. Durch ${Anzeigestil K}$ durch einen beliebigen Ring zu ersetzen ${Anzeigestil R,}$ die Begriffe sind die Definition von a ${Anzeigestil R}$-Modul; ein Vektorraum ist also eigentlich eine besondere Art von Modul.

Die Definition umfasst:

• ${displaystyle amathbf {v} =mathbf {0} }$ dann und nur dann, wenn ${Anzeigestil a=0}$ oder ${displaystyle mathbf {v} = mathbf {0} }$
• ${displaystyle (-1)mathbf {v} =-mathbf {v} }$

Ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist, heißt a normierter Vektorraum.

Realer und komplexer Vektorraum

Häufig verwendete Vektorräume sind solche, in denen ${Anzeigestil K}$ die reellen Zahlen ${displaystyle mathbb {R} }$ oder die komplexen Zahlen ${displaystyle mathbb {C} }$ ist. Der Vektorraum ${Anzeigestil V}$ heißt a Real bzw. a komplexer Vektorraum. Also "Komplex" spart ${Anzeigestil K}$, nicht auf ${Anzeigestil V}$: der Vektorraum ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ mit reellen Skalaren ist ein (wenn auch recht ungewöhnlicher) reeller Vektorraum, isomorph zu ${displaystyle mathbb {R} ^{2n}}$. Die Umkehrung, ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit komplexen Skalaren, ist mit der üblichen Definition der Skalarmultiplikation nicht möglich.

Generieren von Teil, freiem Teil, Basis und Dimension

Man sagt, dass eine Menge von Vektoren ${Anzeigestil A}$ ein Generierender Teil eines Vektorraums ${Anzeigestil V}$ ist wie ${Anzeigestil V}$ der kleinste Vektorraum ist das ${Anzeigestil A}$ enthält. Das heißt nicht nur ${Anzeigestil V}$ alle Linearkombinationen von Vektoren aus ${Anzeigestil A}$ enthält, aber auch, dass alle Vektoren in ${Anzeigestil V}$ sind Linearkombinationen von Vektoren aus ${Anzeigestil A}$.

Das System der Vektoren ${displaystyle B={b_{1},b_{2},ldots,b_{n}}}$ heißt a kostenloser Teil wenn die Vektoren aus ${Anzeigestil B}$linear unabhängig sind, also wenn:

${Displaystyle-Summe _{i=1}^{n}c_{i}b_{i}=0Pfeil nach rechts für alle i:c_{i}=0}$

Dies bedeutet, dass der einzige lineare Kombination von Vektoren in ${Anzeigestil B}$ was null ergibt, ist die Kombination mit allen Koeffizienten null. Daraus resultieren verschiedene Linearkombinationen von Vektoren in ${Anzeigestil B}$ auch verschiedene Vektoren darstellen.

EIN Base von ${Anzeigestil V}$ ist eine Teilmenge, die sowohl ein Generator von ist ${Anzeigestil V}$ ist wie ein freier Teil in ${Anzeigestil V}$. Man kann (vorausgesetzt, die Axiom der Wahl) zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat. Intuitiv ist eine Basis die kleinstmögliche Menge von Vektoren, mit der der gesamte Vektorraum aufgebaut werden kann (durch Skalarmultiplikationen und Vektorsummen). In einem gegebenen Vektorraum ${Anzeigestil V}$ eine Basis kann auf verschiedene Weise gewählt werden, aber die Anzahl der Vektoren (Kardinalität) in einer Basis von ${Anzeigestil V}$ hat immer recht.

Die Anzahl der Vektoren der Basis wird zu Abmessungen des Vektorraums. Intuitiv ist die Dimension eines Vektorraums die Anzahl der voneinander unabhängigen Richtungen im Vektorraum.

Wenn der Körper ${Anzeigestil K}$ endlich ist, gilt:

• auf endlicher Basis ist ${Anzeigestil V}$ endlich;
• auf abzählbar unendlicher Basis ist ${Anzeigestil V}$ abzählbar unendlich.

Unterraum

sehen Linearer Unterraum für den Hauptartikel zu diesem Thema.

EIN Unterraum (ebenfalls linearer Unterraum genannt) ist a Teilmenge eines Vektorraums, der selbst ein Vektorraum über dem gleichen Körper ist. Jeder Vektorraum enthält zwei triviale Unterräume: sich selbst und auch den kleinstmöglichen Unterraum, der nur aus den Nullvektor existiert.

Geschichte

Das Konzept des Vektorraums leitet sich konzeptionell von der affine Geometrie, durch die Einführung von Koordinaten in der Ebene oder im üblichen dreidimensionalen Raum. Um 1636 die Franzosen MathematikerDescartes und Fermat die Grundlage der analytischen Geometrie durch die Verknüpfung der Lösungen einer Gleichung mit zwei Variablen zur Bestimmung einer zweidimensionalen Kurve.

Um zu einer geometrischen Lösung zu gelangen, ohne Koordinaten zu verwenden, eingeführt Bernhard Bozen im Jahr 1804 bestimmte Operationen auf Punkte, Linien und Ebenen, die als Vorläufer von Vektoren angesehen werden können.^[1] Diese Arbeit wurde im Konzept des baryzentrische Koordinaten von August Ferdinand Möbius im Jahr 1827.^[2] Der entscheidende Schritt bei der Definition von Vektoren war Bellavitis' Definition von Zweipunkt: Ein Richtungssegment, bei dem ein Ende der Ursprung und das andere das Ziel ist.

Vektorräume wurden mit der Einführung des komplexe Ebene durch Jean-Robert Argand und William Rowan Hamilton und die Einführung von Quaternionen und Biquaternionen Durch die letztgenannte; es handelt sich um Elemente von jeweils ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$ und ${displaystyle mathbb {R} ^{8}}$. Die Aussicht als lineare Kombination geht zurück zu Laguerre im Jahr 1867, der in diesem Jahr lineare Gleichungssysteme definierte.

1857 eingeführt Cayley seine Matrixnotation, die die Notation von ermöglichte lineare Bilder harmonisieren und vereinfachen zwischen Vektorräumen.

Gleichzeitig studiert Grassmann der baryzentrische Kalkül, der von initiated initiiert wurde Möbius, diese Sammlungen von abstrakte Objekte, mit Operationen ausgestattet, berücksichtigt^[3] Seine Arbeit überschreitet den Rahmen des Vektorraums, da ihn seine Einführung der Multiplikation zum Konzept der . führt Algebraist geführt. Dennoch sind die Konzepte der Dimension und der linearen Unabhängigkeit vorhanden, ebenso wie das skalare (innere) Produkt (1844). Der Vorrang dieser Entdeckungen wurde von Cauchy in seiner Veröffentlichung umstritten Sur les clefs algebriques.

Der italienische Mathematiker Peano, deren Hauptbeitrag die rigorose Axiomatisierung bestehender Konzepte, insbesondere die Konstruktion von Mengen, war, arbeitete gegen Ende des 19. Jahrhunderts als einer der ersten mit der modernen Definition von Vektorräumen.^[4]

Eine wichtige Weiterentwicklung dieses Konzepts ist der Bau von Funktionsräumen durch Henri Lebesgue. Dies wurde später formalisiert von David Hilbert und Stefan Banach (in seiner Dissertation von 1920).

An dieser Stelle ist die Algebra und das neue Feld der Funktionsanalyse zu interagieren, insbesondere mit Schlüsselkonzepten wie Räume von ${displaystyle p}$-integrierbare Funktionen und hilberträume. Auch zu dieser Zeit wurden die ersten Studien unendlichdimensionaler Vektorräume durchgeführt.

Beispiele

Koordinaten- und Funktionsräume

Ein Beispiel für einen Vektorraum über einem Körper/Feld ${Anzeigestil K}$ ist der Koordinatenraum${Anzeigestil K^{n}}$, deren Elemente ${displaystyle n}$-Tupel sind, Reihen ${displaystyle (a_{1},a_{2},ldots,a_{n})}$ der Länge ${displaystyle n}$ von Elementen ${displaystyle a_{i}in K}$.^[5] Zu gegebener Zeit ${displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum über ${Anzeigestil K}$ entspricht jeder Basis a Isomorphismus mit ${Anzeigestil K^{n}}$. Spaltenvektoren und Zeilenvektoren der jeweiligen Länge bilden auch jeweils einen solchen isomorphen Vektorraum.

Allgemeiner gesagt, Funktionen einer beliebigen festen Menge ${Anzeigestil Omega}$ zu einer Stelle/einem Feld ${Anzeigestil K}$ (es Produkt von a indizierte Familie gleicher Vektorräume ${Anzeigestil K}$, mit Indexsammlung${Anzeigestil Omega}$) auch Vektorräume, indem man punktweise Addition und Skalarmultiplikation durchführt. Das heißt, die Summe zweier Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ wird gegeben von

${Anzeigestil (f g) (w) = f (w) g (w)}$

und die Skalarmultiplikation mit:

${Anzeigestil (af) (w) = a (f (w))}$.

Mit ${displaystyle K^{Omega}}$ ist die Menge aller Funktionen gemeint ${displaystyle Omega oder K}$ (sehen Funktionsraum). Damit kommt das kartesische Produkt ${Anzeigestil K^{n}}$ Spiel ${Anzeigestil K^{{1,2,ldots,n}}.}$ wenn ${Anzeigestil Omega}$ ist eine unendliche Menge ist ${displaystyle K^{Omega}}$ ein unendlichdimensionaler Vektorraum. Der Raum ${displaystyle K^{mathbb {N} }}$, ebenfalls ${displaystyle K^{infty }}$ heißt der Raum aller unendlichen Reihen von Elementen in ${Anzeigestil K}$. Die Sammlung ${Anzeigestil Omega}$ kann auch unzählbar sein, zum Beispiel das Intervall ${displaystyle[0,1],}$ so dass ${Displaystil K^{[0,1]}}$ ist der Raum aller Funktionen auf diesem Intervall. Bei unendlich ${Anzeigestil Omega}$ in vielen Fällen wird nur ein Unterraum betrachtet, zum Beispiel Zeilen oder Funktionen mit endlicher Unterstützung, oder die normierte Vektorräume${displaystyle L^{p}}$. Die Menge der Funktionen und die Norm werden in Verbindung miteinander gewählt, so dass die Norm niemals unendlich wird.

Solche Funktionsräume treten in vielen geometrischen Situationen auf, zum Beispiel wenn ${Anzeigestil Omega}$ das echte Linie, ein Intervall, oder andere Teilmengen von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ schlägt vor. Viele Konzepte aus dem Topologie und die Analyse, wie Kontinuität, Integrierbarkeit oder Unterscheidbarkeit sich hinsichtlich Linearität gut verhalten: Addition und Skalarmultiplizität von Funktionen, die eine solche Eigenschaft besitzen, besitzen diese Eigenschaft auch nach Addition und Skalarmultiplikation.^[6] Daher sind solche Funktionenmengen Vektorräume. Sie werden mit den Methoden der Funktionsanalyse. Algebraische Nebenbedingungen liefern auch Vektorräume: de Polynomring${Anzeigestil K[x]}$ (sowohl ein Vektorraum als auch a Ring) ist gegeben durch die Menge aller Polynome, also von beliebigem Grad ${displaystyle n}$:

${displaystyle f(x)=a_{0} a_{1}x a_{2}x^{2} ldots a_{n}x^{n}}$, mit dem Koeffizienten${displaystyle a_{0},a_{1},ldots ,a_{n}in K}$.^[7]

Lineare Gleichungen

sehen Lineargleichung und Lineares Gleichungssystem für die wichtigsten Artikel zu diesem Thema.

Lineare Gleichungssysteme, die homogen sind eng mit Vektorräumen verwandt.^[8] 's Lösungen

${Anzeigestil a 3b c=0}$

${Anzeigestil 4a 2b 2c=0}$

sind zum Beispiel gegeben durch Drillinge drie given ${Anzeigestil (a,b,c)}$ mit ${displaystyle b=a/2}$ und ${Anzeigestil c=-5a/2}$. Diese Tripel bilden einen Vektorraum: Additionen und skalare Vielfache erfüllen immer die gleichen Verhältnisse der drei Variablen, sind also Lösungen des Gleichungssystems. Um lineare Gleichungen wie oben kompakter aufzuschreiben, kann man zum Beispiel Matrizen verwenden

${displaystyle Ax=0}$

in welchem

${displaystyle A={ egin{bmatrix}1&3&1/4&2&2end{bmatrix}}}$

das Matrix Ist das das Koeffizienten der gegebenen Gleichungen enthält die Spaltenvektor${displaystyle x={ egin{bmatrix}a/b/cend{bmatrix}}}$ enthält die Unbekannten, ${displaystyle { start{bmatrix}0/0end{bmatrix}}}$ das Nullvektor ist und ${displaystyle Axt}$ das Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor ist.

Auch die Lösungen einer homogenen lineare Differentialgleichung einen Vektorraum bilden. Die gleichung

${Anzeigestil f'' 2f' f=0}$

zum Beispiel als Lösungen hat die Funktionen

${displaystyle f(x)=ae^{-x} bxe^{-x}}$,

in welchem ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ sind beliebige Konstanten.

Körper-/Felderweiterungen

Körper-/Felderweiterungen${Anzeigestil K/E}$ ("${Anzeigestil K}$ Über ${Anzeigestil E}$") bilden eine weitere Klasse von Vektorräumen, insbesondere in der Algebra und de algebraische Zahlentheorie: ein Körper/ein Feld ${Anzeigestil K}$ das a Erweiterung ist von ${Anzeigestil E}$ ist gegeben unter den gegebenen Multiplikations- und Additionsoperationen von ${Anzeigestil K}$ ein ${Anzeigestil E}$-Vektorraum.^[9] Zum Beispiel sind die komplexen Zahlen ein Vektorraum über ${displaystyle mathbb {R} }$. Eine besonders interessante Art der Felderweiterung im Zahlentheorie ist ${displaystyle mathbb {Q} (alpha)}$, die Erweiterung der rationalen Zahlen ${displaystyle mathbb {Q} }$ mit einer gegebenen komplexen Zahl ${displaystyle alpha }$. ${displaystyle mathbb {Q} (alpha)}$ ist das kleinste Feld/Feld, das die Begründung und eine gegebene komplexe Zahl enthält ${displaystyle alpha }$ enthält. Das Abmessungen als Vektorraum über ${displaystyle mathbb {Q} }$ hängt von der wahl ab ${displaystyle alpha }$.

Erweiterungen

Ein Modul ist eine algebraische Struktur, die einem Vektorraum sehr ähnlich ist. Ein Modul wird jedoch über einen Ring und nicht über einen Körper/ein Feld definiert. Bei einem Modul braucht man das also nicht ${Anzeigestil K}$ ist ein Körper/Feld, aber das ${Anzeigestil K}$ ein Ring. Jeder Vektorraum ist also ein Modul und alle Eigenschaften von Modulen gelten auch für Vektorräume.

Fußnoten

Verweise

Lineare Algebra

• (und) Serge Lang, Lineare Algebra, Springer-Verlag, Berlin, New York, ISBN 978-0-387-96412-6 , 1987
• (und) Serge Lang, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised 3. Aufl.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4 , 2002

Analyse

• (und) Serge Lang, Echte Analyse, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-14179-5 , 1983
• (und) Serge Lang, Real- und Funktionsanalyse, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94001-4 , 1993

Historische Referenzen

• (fr) Stefan Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Über Operationen in abstrakten Mengen und ihre Anwendung auf Integralgleichungen) siehe hier, Fundamenta Mathematicae, ISSN0016-2736, Bd. 3, 1922
• (das) Bernhard Bozen, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie siehe hier, 1804
• (das) Hermann GrassmannDie Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik, siehe hier, O. Wigand, 1844
• (das) August Ferdinand Möbius, Der Barycentric Calculus : ein neues Hülfsmittel zur analyen Behandlung der Geometrie siehe hier, 1827
• (es) Giuseppe Peano, Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Dedutiva, Turin, 1888

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