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Neutraal element

In dem Mathematik, genauer gesagt in der abstrakte Algebra, ist ein neutrales Element in Bezug auf eine bestimmte bearbeiten, ein Element, das, wenn es mit einem anderen Element bearbeitet wird, keine Änderung hervorruft, also das betreffende Element unverändert lässt. Ein neutrales Element heißt auch Einheitselement erwähnt.

Definition

EIN neutral Element in a Magma ${Anzeigestil(V,*)}$ , ist ein Element ${displaystyle ein V}$ mit der Eigenschaft, dass für jeden ${Anzeigestil ain V}$ gilt:

{Anzeigestil a*e=a=e*a}

.

Sie können sehen, warum aus neutrales Element gesprochen wird, weil die Bearbeitung mit einem neutralen Element nichts ändert, das Element ${displaystyle e}$ verhält sich neutral.

Man könnte sich fragen, ob es nicht ausreichen würde, nur einer der Gleichheiten zu verlangen. Durch die Anforderung beider Gleichheit ist jedoch gewährleistet, dass auch bei der Operation ${Anzeigestil *}$ nicht kommutativ Das heißt, es gibt nur ein neutrales Element. Nehme an, dass ${displaystyle e_{1}}$ und ${displaystyle e_{2}}$ sind beides neutrale Elemente. Dann folgt sofort:

{displaystyle e_{2}*e_{1}=e_{2},}

und

{displaystyle e_{1}=e_{2}*e_{1},}

,

So

{displaystyle e_{2}=e_{2}*e_{1}=e_{1},}

.

Notationskonvention

Wenn eine additive Notation verwendet wird, wird das neutrale Element mit notiert 0.
Verwendet man eine multiplikative Notation, wird das neutrale Element mit geschrieben 1.

Beispiele

In der Sammlung der Rationale Zahlen mit der bearbeiten summieren 0 ist das neutrale Element.

{Displaystil 4{,}27 0=4{,}27}

In der Sammlung der ganze Zahlen mit der bearbeiten multiplizieren 1 ist das neutrale Element.

{Displaystil 6cdot 1=6}

In der Sammlung der m × nMatrizen mit der Operation Matrixaddition ist der m × n-Nullmatrix (vollständig mit Nullen gefüllt) das neutrale Element.

{displaystyle { egin{bmatrix}4&-1&0/2&1&5end{bmatrix}} { egin{bmatrix}0&0&0/0&0&0end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}4&-1&0/2&1&5end{bmatrix}}}

In der Sammlung des (Quadrat) n × nMatrizen und die Operation Matrix-Multiplikation ist der Einheitenmatrix das neutrale Element.

{displaystyle { egin{bmatrix}5&2/3&-4end{bmatrix}}cdot { egin{bmatrix}1&0/0&1end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}5&2/3&-4end{bmatrix}}}

In dem Sammlung des gerade Zahlen die Multiplikation mit der Operation hat kein neutrales Element.

Siehe auch

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