WikiDer > Список лимитов

List of limits

Это Список пределы для общего функции. В этой статье термины а, б и c являются константами относительно Икс.

Пределы для общих функций

Определения пределов и связанных понятий

если и только если . Это (ε, δ) -определение предела.

Верхний предел и нижний предел последовательности определяются как и .

Функция, , называется непрерывным в точке, c, если

.

Операции с одним известным пределом

[1][2][3]
[4] если L не равно 0.
[1][2][3]
[1][3]

В общем, если г (х) непрерывно на L и тогда

[1][2]

Операции на двух известных лимитах

[1][2][3]

[1][2][3]

[1][2][3]

Пределы, связанные с производными или бесконечно малыми изменениями

В этих пределах бесконечно малое изменение часто обозначается или же . Если является дифференцируемый в ,

. Это определение производная. Все правила дифференциации также могут быть переформулированы как правила, предусматривающие ограничения. Например, если g (x) дифференцируема в x,

. Это Правило цепи.

. Это правило продукта.

Если и дифференцируемы на открытом интервале, содержащем c, кроме, возможно, самого c, и , Правило л'Опиталя может быть использован:

[2]

Неравенства

Если для всех x в интервале, который содержит c, кроме, возможно, самого c, и предел и оба существуют в c, тогда

[5]

и для всех x в открытом интервале, содержащем c, кроме, возможно, самого c,

. Это известно как теорема сжатия.[1][2] Это применимо даже в тех случаях, когда f (x) и g (x) принимают разные значения в c или разрываются в c.

Многочлены и функции вида Икса

[1][2][3]

Многочлены от x

[1][2][3]
[5]

В общем, если является многочленом, то по непрерывности многочленов

[5]

Это также верно для рациональные функции, поскольку они непрерывны на своих доменах.[5]

Функции формы Икса

[5] Особенно,
.[5] Особенно,
[6]

Экспоненциальные функции

Функции формы аг (х)

, благодаря непрерывности
[6]

Функции формы Иксг (х)

Функции формы f (x)г (х)

[2]
[2]
[7]
[6]
. Этот предел может быть получен из этот предел.

Суммы, произведения и композиты

[4][7]

Логарифмические функции

Натуральные логарифмы

, благодаря непрерывности . Особенно,
[7]
. Этот предел следует из Правило L'Hôpital.
[6]

Логарифмы в произвольные основания

За а > 1,

За а < 1,

Тригонометрические функции

Если выражается в радианах:

Оба эти ограничения вытекают из непрерывности греха и созна.

.[7] Или вообще
, за а не равно 0.
, за б не равно 0.
[4]
, для целого числа п.
, где x0 - произвольное действительное число.
, где d - Число Дотти. Икс0 может быть любым произвольным действительным числом.

Суммы

Вообще говоря, любой бесконечный ряд является пределом его частичных сумм. Например, аналитическая функция - это предел своего ряда Тейлора в пределах своего радиуса сходимости.

. Это известно как гармонический ряд.[6]
. Это постоянная Эйлера Маскерони.

Примечательные специальные ограничения

. Это можно доказать, рассматривая неравенство в .
. Это можно вывести из Формула Вьете для пи.

Ограничивающее поведение

Асимптотические эквивалентности

Асимптотические эквивалентности, , верны, если . Следовательно, их также можно переформулировать как пределы. Некоторые известные асимптотические эквивалентности включают

, из-за теорема о простых числах, , где π (x) - функция подсчета простых чисел.
, из-за Приближение Стирлинга, .

Обозначение Big O

Поведение функций, описываемых Обозначение Big O также можно описать пределами. Например

если

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час я j «Основные предельные законы». math.oregonstate.edu. Получено 2019-07-31.
  2. ^ а б c d е ж грамм час я j k л «Памятка по ограничениям - Symbolab». www.symbolab.com. Получено 2019-07-31.
  3. ^ а б c d е ж грамм час «Раздел 2.3: Расчет лимитов с использованием законов о лимитах» (PDF).
  4. ^ а б c «Формулы пределов и производных» (PDF).
  5. ^ а б c d е ж «Предельные теоремы». archives.math.utk.edu. Получено 2019-07-31.
  6. ^ а б c d е «Некоторые особые ограничения». www.sosmath.com. Получено 2019-07-31.
  7. ^ а б c d «НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ - Математические формулы - Математические формулы - Основные математические формулы». www.pioneermat Mathematics.com. Получено 2019-07-31.