Статья со списком Википедии
Этот список математических рядов содержит формулы для конечных и бесконечных сумм. Его можно использовать вместе с другими инструментами для оценки сумм.
Суммы полномочий
Видеть Формула Фаульхабера .
∑ k = 0 м k п − 1 = B п ( м + 1 ) − B п п {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {m} k ^ {n-1} = {frac {B_ {n} (m + 1) -B_ {n}} {n}}} Первые несколько значений:
∑ k = 1 м k = м ( м + 1 ) 2 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} k = {frac {m (m + 1)} {2}}} ∑ k = 1 м k 2 = м ( м + 1 ) ( 2 м + 1 ) 6 = м 3 3 + м 2 2 + м 6 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} k ^ {2} = {frac {m (m + 1) (2m + 1)} {6}} = {frac {m ^ {3}} {3 }} + {frac {m ^ {2}} {2}} + {frac {m} {6}}} ∑ k = 1 м k 3 = [ м ( м + 1 ) 2 ] 2 = м 4 4 + м 3 2 + м 2 4 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} k ^ {3} = left [{frac {m (m + 1)} {2}} ight] ^ {2} = {frac {m ^ {4}) } {4}} + {frac {m ^ {3}} {2}} + {frac {m ^ {2}} {4}}} Видеть дзета-константы .
ζ ( 2 п ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 п = ( − 1 ) п + 1 B 2 п ( 2 π ) 2 п 2 ( 2 п ) ! {displaystyle zeta (2n) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {2n}}} = (- 1) ^ {n + 1} {frac {B_ {2n} ( 2pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}} Первые несколько значений:
ζ ( 2 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 {displaystyle zeta (2) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {2}}} = {frac {pi ^ {2}} {6}}} Базельская проблема ) ζ ( 4 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 = π 4 90 {displaystyle zeta (4) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {4}}} = {frac {pi ^ {4}} {90}}} ζ ( 6 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k 6 = π 6 945 {displaystyle zeta (6) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {6}}} = {frac {pi ^ {6}} {945}}} Силовая серия
Полилогарифмы низкого порядка Конечные суммы:
∑ k = я п z k = 1 − z п + 1 1 − z {displaystyle sum _ {k = i} ^ {n} z ^ {k} = {frac {1-z ^ {n + 1}} {1-z}}} геометрическая серия ) ∑ k = 1 п k z k = z 1 − ( п + 1 ) z п + п z п + 1 ( 1 − z ) 2 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} kz ^ {k} = z {frac {1- (n + 1) z ^ {n} + nz ^ {n + 1}} {(1-z) ^ {2}}}} ∑ k = 1 п k 2 z k = z 1 + z − ( п + 1 ) 2 z п + ( 2 п 2 + 2 п − 1 ) z п + 1 − п 2 z п + 2 ( 1 − z ) 3 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} z ^ {k} = z {frac {1 + z- (n + 1) ^ {2} z ^ {n} + (2n ^ {2} + 2n-1) z ^ {n + 1} -n ^ {2} z ^ {n + 2}} {(1-z) ^ {3}}}} ∑ k = 1 п k м z k = ( z d d z ) м 1 − z п + 1 1 − z {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} z ^ {k} = left (z {frac {d} {dz}} ight) ^ {m} {frac {1-z ^ {) n + 1}} {1-z}}} Бесконечные суммы, действительные для | z | < 1 {displaystyle | z | <1} полилогарифм ):
Ли п ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k п {displaystyle operatorname {Li} _ {n} (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {z ^ {k}} {k ^ {n}}}} Следующее является полезным свойством для рекурсивного вычисления полилогарифмов низкого целого порядка в закрытая форма :
d d z Ли п ( z ) = Ли п − 1 ( z ) z {displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} z}} имя оператора {Li} _ {n} (z) = {frac {имя оператора {Li} _ {n-1} (z)} {z} }} Ли 1 ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k = − пер ( 1 − z ) {displaystyle operatorname {Li} _ {1} (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {z ^ {k}} {k}} = - ln (1-z)} Ли 0 ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k = z 1 − z {displaystyle operatorname {Li} _ {0} (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} z ^ {k} = {frac {z} {1-z}}} Ли − 1 ( z ) = ∑ k = 1 ∞ k z k = z ( 1 − z ) 2 {displaystyle operatorname {Li} _ {- 1} (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} kz ^ {k} = {frac {z} {(1-z) ^ {2}}}} Ли − 2 ( z ) = ∑ k = 1 ∞ k 2 z k = z ( 1 + z ) ( 1 − z ) 3 {displaystyle operatorname {Li} _ {- 2} (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} k ^ {2} z ^ {k} = {frac {z (1 + z)} {(1 -z) ^ {3}}}} Ли − 3 ( z ) = ∑ k = 1 ∞ k 3 z k = z ( 1 + 4 z + z 2 ) ( 1 − z ) 4 {displaystyle operatorname {Li} _ {- 3} (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} k ^ {3} z ^ {k} = {frac {z (1 + 4z + z ^ {2) })} {(1-z) ^ {4}}}} Ли − 4 ( z ) = ∑ k = 1 ∞ k 4 z k = z ( 1 + z ) ( 1 + 10 z + z 2 ) ( 1 − z ) 5 {displaystyle operatorname {Li} _ {- 4} (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} k ^ {4} z ^ {k} = {frac {z (1 + z) (1 + 10z) + z ^ {2})} {(1-z) ^ {5}}}} Экспоненциальная функция ∑ k = 0 ∞ z k k ! = е z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {k}} {k!}} = e ^ {z}} ∑ k = 0 ∞ k z k k ! = z е z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k {frac {z ^ {k}} {k!}} = ze ^ {z}} распределение Пуассона ) ∑ k = 0 ∞ k 2 z k k ! = ( z + z 2 ) е z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {2} {frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + z ^ {2}) e ^ {z}} второй момент распределения Пуассона) ∑ k = 0 ∞ k 3 z k k ! = ( z + 3 z 2 + z 3 ) е z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {3} {frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + 3z ^ {2} + z ^ {3}) e ^ {z}} ∑ k = 0 ∞ k 4 z k k ! = ( z + 7 z 2 + 6 z 3 + z 4 ) е z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {4} {frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + 7z ^ {2} + 6z ^ {3} + z ^ {4}) e ^ {z}} ∑ k = 0 ∞ k п z k k ! = z d d z ∑ k = 0 ∞ k п − 1 z k k ! = е z Т п ( z ) {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {n} {frac {z ^ {k}} {k!}} = z {frac {d} {dz}} sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {n-1} {frac {z ^ {k}} {k!}},! = e ^ {z} T_ {n} (z)} куда Т п ( z ) {displaystyle T_ {n} (z)} Полиномы Тушара .
Связь тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических и обратных гиперболических функций ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = грех z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = грех z} ∑ k = 0 ∞ z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = грех z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = sinh z} ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k ( 2 k ) ! = потому что z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = cos z} ∑ k = 0 ∞ z 2 k ( 2 k ) ! = шиш z {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {2k}} {(2k)!}} = cosh z} ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( 2 2 k − 1 ) 2 2 k B 2 k z 2 k − 1 ( 2 k ) ! = загар z , | z | < π 2 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} (2 ^ {2k} -1) 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1 }} {(2k)!}} = An z, | z | <{frac {pi} {2}}} ∑ k = 1 ∞ ( 2 2 k − 1 ) 2 2 k B 2 k z 2 k − 1 ( 2 k ) ! = танх z , | z | < π 2 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(2 ^ {2k} -1) 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = anh z, | z | <{гидроразрыв {pi} {2}}} ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 2 k B 2 k z 2 k − 1 ( 2 k ) ! = детская кроватка z , | z | < π {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = детская кроватка z, | z | ∑ k = 0 ∞ 2 2 k B 2 k z 2 k − 1 ( 2 k ) ! = кот z , | z | < π {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = coth z, | z | ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( 2 2 k − 2 ) B 2 k z 2 k − 1 ( 2 k ) ! = csc z , | z | < π {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} (2 ^ {2k} -2) B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k )!}} = csc z, | z | ∑ k = 0 ∞ − ( 2 2 k − 2 ) B 2 k z 2 k − 1 ( 2 k ) ! = csch z , | z | < π {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {- (2 ^ {2k} -2) B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = имя оператора {csch} z, | z | ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k E 2 k z 2 k ( 2 k ) ! = сечь z , | z | < π 2 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} E_ {2k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = имя оператора {sech} z, | z | <{гидроразрыв {пи} {2}}} ∑ k = 0 ∞ E 2 k z 2 k ( 2 k ) ! = сек z , | z | < π 2 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {E_ {2k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = sec z, | z | <{frac {pi} {2}} } ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 z 2 k ( 2 k ) ! = вер z {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {(2k)!}} = имя оператора {ver} z} Версина ) ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 z 2 k 2 ( 2 k ) ! = hav z {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {2 (2k)!}} = имя оператора {hav} z} [1] гаверсин ) ∑ k = 0 ∞ ( 2 k ) ! z 2 k + 1 2 2 k ( k ! ) 2 ( 2 k + 1 ) = Arcsin z , | z | ≤ 1 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(2k)! z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} = arcsin z, | z | leq 1} ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! z 2 k + 1 2 2 k ( k ! ) 2 ( 2 k + 1 ) = arcsinh z , | z | ≤ 1 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} (2k)! z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} = имя оператора {arcsinh} {z}, | z | leq 1} ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k + 1 2 k + 1 = арктан z , | z | < 1 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = arctan z, | z | <1} ∑ k = 0 ∞ z 2 k + 1 2 k + 1 = arctanh z , | z | < 1 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = имя оператора {arctanh} z, | z | <1} пер 2 + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( 2 k ) ! z 2 k 2 2 k + 1 k ( k ! ) 2 = пер ( 1 + 1 + z 2 ) , | z | ≤ 1 {displaystyle ln 2 + sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} (2k)! z ^ {2k}} {2 ^ {2k + 1} k (k !) ^ {2}}} = ln left (1+ {sqrt {1 + z ^ {2}}} ight), | z | leq 1} Модифицированные факторные знаменатели ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! 2 4 k 2 ( 2 k ) ! ( 2 k + 1 ) ! z k = 1 − 1 − z z , | z | < 1 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(4k)!} {2 ^ {4k} {sqrt {2}} (2k)! (2k + 1)!}} z ^ {k} = {sqrt {frac {1- {sqrt {1-z}}} {z}}}, | z | <1} [2] ∑ k = 0 ∞ 2 2 k ( k ! ) 2 ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) ! z 2 k + 2 = ( Arcsin z ) 2 , | z | ≤ 1 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {2 ^ {2k} (k!) ^ {2}} {(k + 1) (2k + 1)!}} z ^ {2k + 2 } = left (arcsin {z} ight) ^ {2}, | z | leq 1} [2] ∑ п = 0 ∞ ∏ k = 0 п − 1 ( 4 k 2 + α 2 ) ( 2 п ) ! z 2 п + ∑ п = 0 ∞ α ∏ k = 0 п − 1 [ ( 2 k + 1 ) 2 + α 2 ] ( 2 п + 1 ) ! z 2 п + 1 = е α Arcsin z , | z | ≤ 1 {displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {prod _ {k = 0} ^ {n-1} (4k ^ {2} + alpha ^ {2})} {(2n)!}} z ^ {2n} + сумма _ {n = 0} ^ {infty} {frac {alpha prod _ {k = 0} ^ {n-1} [(2k + 1) ^ {2} + alpha ^ {2} ]} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1} = e ^ {альфа arcsin {z}}, | z | leq 1} Биномиальные коэффициенты ( 1 + z ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) z k , | z | < 1 {displaystyle (1 + z) ^ {alpha} = sum _ {k = 0} ^ {infty} {alpha select k} z ^ {k}, | z | <1} Биномиальная теорема )[3] ∑ k = 0 ∞ ( α + k − 1 k ) z k = 1 ( 1 − z ) α , | z | < 1 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {{alpha + k-1} выберите k} z ^ {k} = {frac {1} {(1-z) ^ {alpha}}}, | z | <1} [3] ∑ k = 0 ∞ 1 k + 1 ( 2 k k ) z k = 1 − 1 − 4 z 2 z , | z | ≤ 1 4 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {k + 1}} {2k select k} z ^ {k} = {frac {1- {sqrt {1-4z}}} { 2z}}, | z | leq {frac {1} {4}}} Каталонские числа [3] ∑ k = 0 ∞ ( 2 k k ) z k = 1 1 − 4 z , | z | < 1 4 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {2k choose k} z ^ {k} = {frac {1} {sqrt {1-4z}}}, | z | <{frac {1} {4 }}} Центральные биномиальные коэффициенты [3] ∑ k = 0 ∞ ( 2 k + α k ) z k = 1 1 − 4 z ( 1 − 1 − 4 z 2 z ) α , | z | < 1 4 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {2k + alpha select k} z ^ {k} = {frac {1} {sqrt {1-4z}}} left ({frac {1- {sqrt { 1-4z}}} {2z}} ight) ^ {alpha}, | z | <{frac {1} {4}}} Гармонические числа (Видеть гармонические числа сами определили ЧАС п = ∑ j = 1 п 1 j {extstyle H_ {n} = сумма _ {j = 1} ^ {n} {гидроразрыв {1} {j}}}
∑ k = 1 ∞ ЧАС k z k = − пер ( 1 − z ) 1 − z , | z | < 1 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} H_ {k} z ^ {k} = {frac {-ln (1-z)} {1-z}}, | z | <1} ∑ k = 1 ∞ ЧАС k k + 1 z k + 1 = 1 2 [ пер ( 1 − z ) ] 2 , | z | < 1 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {H_ {k}} {k + 1}} z ^ {k + 1} = {frac {1} {2}} left [ln (1- z) ight] ^ {2}, qquad | z | <1} ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ЧАС 2 k 2 k + 1 z 2 k + 1 = 1 2 арктан z бревно ( 1 + z 2 ) , | z | < 1 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} H_ {2k}} {2k + 1}} z ^ {2k + 1} = {frac {1} {2}} arctan {z} log {(1 + z ^ {2})}, qquad | z | <1} [2] ∑ п = 0 ∞ ∑ k = 0 2 п ( − 1 ) k 2 k + 1 z 4 п + 2 4 п + 2 = 1 4 арктан z бревно 1 + z 1 − z , | z | < 1 {displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} sum _ {k = 0} ^ {2n} {frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}} {frac {z ^ {4n + 2}} {4n + 2}} = {frac {1} {4}} arctan {z} log {frac {1 + z} {1-z}}, qquad | z | <1} [2] Биномиальные коэффициенты
∑ k = 0 п ( п k ) = 2 п {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} = 2 ^ {n}} ∑ k = 0 п ( − 1 ) k ( п k ) = 0 , куда п > 0 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n choose k} = 0, {ext {where}} n> 0} ∑ k = 0 п ( k м ) = ( п + 1 м + 1 ) {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {k choose m} = {n + 1 choose m + 1}} ∑ k = 0 п ( м + k − 1 k ) = ( п + м п ) {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {m + k-1 choose k} = {n + m choose n}} Multiset ) ∑ k = 0 п ( α k ) ( β п − k ) = ( α + β п ) {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {alpha choose k} {eta choose n-k} = {alpha + eta choose n}}. Личность Вандермонда )Тригонометрические функции
Суммы синусы и косинусы возникать в Ряд Фурье .
∑ k = 1 ∞ грех ( k θ ) k = π − θ 2 , 0 < θ < 2 π {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {sin (k heta)} {k}} = {frac {pi - heta} {2}}, 0 ∑ k = 1 ∞ потому что ( k θ ) k = − 1 2 пер ( 2 − 2 потому что θ ) , θ ∈ р {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {cos (k heta)} {k}} = - {frac {1} {2}} ln (2-2cos heta), heta в mathbb {R }} ∑ k = 0 ∞ грех [ ( 2 k + 1 ) θ ] 2 k + 1 = π 4 , 0 < θ < π {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {sin [(2k + 1) heta]} {2k + 1}} = {frac {pi} {4}}, 0 [4] B п ( Икс ) = − п ! 2 п − 1 π п ∑ k = 1 ∞ 1 k п потому что ( 2 π k Икс − π п 2 ) , 0 < Икс < 1 {displaystyle B_ {n} (x) = - {frac {n!} {2 ^ {n-1} pi ^ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {n}}} cos left (2pi kx- {frac {pi n} {2}} ight), 0 [5] ∑ k = 0 п грех ( θ + k α ) = грех ( п + 1 ) α 2 грех ( θ + п α 2 ) грех α 2 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} sin (heta + kalpha) = {frac {sin {frac {(n + 1) alpha} {2}} sin (heta + {frac {nalpha} {2}) })} {sin {frac {alpha} {2}}}}} ∑ k = 0 п потому что ( θ + k α ) = грех ( п + 1 ) α 2 потому что ( θ + п α 2 ) грех α 2 {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} cos (heta + kalpha) = {frac {sin {frac {(n + 1) alpha} {2}} cos (heta + {frac {nalpha} {2}) })} {sin {frac {alpha} {2}}}}} ∑ k = 1 п − 1 грех π k п = детская кроватка π 2 п {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} sin {frac {pi k} {n}} = cot {frac {pi} {2n}}} ∑ k = 1 п − 1 грех 2 π k п = 0 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} sin {frac {2pi k} {n}} = 0} ∑ k = 0 п − 1 csc 2 ( θ + π k п ) = п 2 csc 2 ( п θ ) {displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} csc ^ {2} left (heta + {frac {pi k} {n}} ight) = n ^ {2} csc ^ {2} (n heta )} [6] ∑ k = 1 п − 1 csc 2 π k п = п 2 − 1 3 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} csc ^ {2} {frac {pi k} {n}} = {frac {n ^ {2} -1} {3}}} ∑ k = 1 п − 1 csc 4 π k п = п 4 + 10 п 2 − 11 45 {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} csc ^ {4} {frac {pi k} {n}} = {frac {n ^ {4} + 10n ^ {2} -11} {45 }}} Рациональные функции
∑ п = а + 1 ∞ а п 2 − а 2 = 1 2 ЧАС 2 а {displaystyle sum _ {n = a + 1} ^ {infty} {frac {a} {n ^ {2} -a ^ {2}}} = {frac {1} {2}} H_ {2a}} [7] ∑ п = 0 ∞ 1 п 2 + а 2 = 1 + а π кот ( а π ) 2 а 2 {displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {2} + a ^ {2}}} = {frac {1 + api coth (api)} {2a ^ {2} }}} ∑ п = 0 ∞ 1 п 4 + 4 а 4 = 1 8 а 4 + π ( грех ( 2 π а ) + грех ( 2 π а ) ) 8 а 3 ( шиш ( 2 π а ) − потому что ( 2 π а ) ) {displaystyle displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {4} + 4a ^ {4}}} = {dfrac {1} {8a ^ {4}}} + {dfrac {pi (sh (2pi a) + sin (2pi a))} {8a ^ {3} (ch (2pi a) -cos (2pi a))}}} Бесконечная серия любых рациональная функция из п {displaystyle n} полигамма-функции , с использованием частичное разложение на фракции .[8] постоянное время даже когда серия содержит большое количество терминов. Экспоненциальная функция
1 п ∑ п = 0 п − 1 exp ( 2 π я п 2 q п ) = е π я / 4 2 q ∑ п = 0 2 q − 1 exp ( − π я п 2 п 2 q ) {displaystyle displaystyle {dfrac {1} {sqrt {p}}} sum _ {n = 0} ^ {p-1} exp left ({frac {2pi in ^ {2} q} {p}} ight) = { dfrac {e ^ {pi i / 4}} {sqrt {2q}}} sum _ {n = 0} ^ {2q-1} exp left (- {frac {pi in ^ {2} p} {2q}} ight)} Соотношение Ландсберга – Шаара ) ∑ п = − ∞ ∞ е − π п 2 = π 4 Γ ( 3 4 ) {displaystyle displaystyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} e ^ {- pi n ^ {2}} = {frac {sqrt [{4}] {pi}} {Гамма слева ({frac {3} { 4}} ight)}}} Смотрите также
Примечания
^ Вайсштейн, Эрик В. "Хаверсин" . MathWorld Wolfram Research, Inc. В архиве из оригинала от 10.03.2005. Получено 2015-11-06 .^ а б c d Уилф, Герберт Р. (1994). генерирующаяфункционология (PDF) . Academic Press, Inc. ^ а б c d «Шпаргалка по теоретической информатике» (PDF) .^ Вычислить разложение Фурье функции ж ( Икс ) = π 4 {displaystyle f (x) = {frac {pi} {4}}} 0 < Икс < π {displaystyle 0 π 4 = ∑ п = 0 ∞ c п грех [ п Икс ] + d п потому что [ п Икс ] {displaystyle {frac {pi} {4}} = sum _ {n = 0} ^ {infty} c_ {n} sin [nx] + d_ {n} cos [nx]} ⇒ { c п = { 1 п ( п странный ) 0 ( п четное ) d п = 0 ( ∀ п ) {displaystyle Rightarrow {egin {case} c_ {n} = {egin {cases} {frac {1} {n}} quad (n {ext {odd}}) 0quad (n {ext {even}}) end { case}} d_ {n} = 0quad (forall n) end {case}}} ^ «Многочлены Бернулли: представления серий (подраздел 06/02)» . Wolfram Research . Получено 2 июн 2011 .^ Хофбауэр, Йозеф. «Простое доказательство 1 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + ... = PI ^ 2/6 и связанных тождеств» (PDF) . Получено 2 июн 2011 . ^ Сондоу, Джонатан; Вайсштейн, Эрик В. «Дзета-функция Римана (ур. 52)» . MathWorld —Веб-ресурс Wolfram ^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен (1964). «6.4 Полигамма-функции» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами 260 . ISBN 0-486-61272-4 Рекомендации
![{displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} k ^ {3} = left [{frac {m (m + 1)} {2}} ight] ^ {2} = {frac {m ^ {4}) } {4}} + {frac {m ^ {3}} {2}} + {frac {m ^ {2}} {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83655857c974dd27c9b29de8cda04d7c65d334e3)
![sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {prod _ {k = 0} ^ {n-1} (4k ^ {2} + alpha ^ {2})} {(2n)!}} z ^ {2n} + sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {alpha prod _ {k = 0} ^ {n-1} [(2k + 1) ^ {2} + alpha ^ {2}]} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1} = e ^ {альфа-дугиin {z}}, | z | leq 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7690094e2c29c30c517059014511d42f93f0912a)
![sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {H_ {k}} {k + 1}} z ^ {k + 1} = {frac {1} {2}} left [ln (1-z) ight] ^ {2}, qquad | z | <1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c2c3f140738f0c5c61f88f041f311fbda3a340)
![{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {sin [(2k + 1) heta]} {2k + 1}} = {frac {pi} {4}}, 0 <heta <pi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf41e942b227c04e70af874e45bddb621602e58)
![{displaystyle displaystyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} e ^ {- pi n ^ {2}} = {frac {sqrt [{4}] {pi}} {Гамма слева ({frac {3} { 4}} ight)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aee717a740629f569ad7c408608acb53f1ec4bd)
![{displaystyle {frac {pi} {4}} = sum _ {n = 0} ^ {infty} c_ {n} sin [nx] + d_ {n} cos [nx]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5b6fd91cf5e77255955c2b09cdc203bcb5bf73)
