WikiDer > Уравнения Маделунга - Википедия

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик (отложенный выбор) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Goudsmit Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В Уравнения Маделунга, или уравнения квантовой гидродинамики, находятся Эрвин Маделунгэквивалентная альтернативная формулировка Уравнение Шредингера, записанные в терминах гидродинамических переменных, аналогично Уравнения Навье – Стокса из динамика жидкостей. Вывод уравнений Маделунга аналогичен выводу формулировка де Бройля – Бома, который представляет собой Уравнение Шредингера как квантовое уравнение Гамильтона – Якоби.

Уравнения

Уравнения Маделунга^[1] квантовые Уравнения Эйлера:^[2]

${ displaystyle partial _ {t} rho _ {m} + nabla cdot ( rho _ {m} mathbf {u}) = 0,}$

${ displaystyle { frac {d mathbf {u}} {dt}} = partial _ {t} mathbf {u} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} = - { frac {1} {m}} mathbf { nabla} (Q + V),}$

куда

${ displaystyle mathbf {u}}$ это скорость потока,

${ Displaystyle rho _ {m} = m rho = m | psi | ^ {2}}$ - массовая плотность,

${ displaystyle Q = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { nabla ^ {2} { sqrt { rho}}} { sqrt { rho}}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { nabla ^ {2} { sqrt { rho _ {m}}}} { sqrt { rho _ {m}} }}}$ Бом квантовый потенциал,

V - потенциал из уравнения Шредингера.

В обращение поля скорости потока вдоль любого замкнутого пути подчиняется вспомогательному условию ${ displaystyle Gamma doteq oint {м mathbf {u} cdot d mathbf {l}} = 2 pi n hbar}$, ${ Displaystyle п в mathbb {Z}}$.^[3]

Уравнения Маделунга выводятся путем записи волновой функции в полярной форме:

${ displaystyle psi ( mathbf {x}, t) = { sqrt {{ frac {1} {m}} rho _ {m} ( mathbf {x}, t)}} e ^ {{ frac {i} { hbar}} S ( mathbf {x}, t)},}$

и подставив эту форму в Уравнение Шредингера

${ displaystyle i hbar { frac { partial} { partial t}} psi ( mathbf {x}, t) = left [{ frac {- hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + V ( mathbf {x}, t) right] psi ( mathbf {x}, t).}$

Скорость потока определяется как

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {x}, t) = { frac {1} {m}} mathbf { nabla} S,}$

из которого мы также находим, что

${ displaystyle { frac {1} {m}} rho _ {m} mathbf {u} = mathbf {j} = { frac { hbar} {2mi}} [ psi ^ {*} ( nabla psi) - psi ( nabla psi ^ {*})],}$

куда ${ displaystyle mathbf {j}}$ это ток вероятности стандартной квантовой механики.

В квантовая сила, которая является отрицательной величиной градиента квантового потенциала, также может быть записана в терминах тензора квантового давления:

${ displaystyle mathbf {F_ {Q}} = - mathbf { nabla} Q = - { frac {m} { rho _ {m}}} nabla cdot mathbf {p} _ {Q} ,}$

куда

${ displaystyle mathbf {p} _ {Q} = - ( hbar / 2m) ^ {2} rho _ {m} nabla otimes nabla ln rho _ {m}.}$

Интегральная энергия, запасенная в квантовом тензоре давления, пропорциональна величине Информация Fisher, который учитывает качество измерений. Таким образом, согласно Граница Крамера – Рао, Гейзенберг принцип неопределенности эквивалентно стандартному неравенству для эффективность измерений. Термодинамическое определение квантово-химического потенциала

${ displaystyle mu = Q + V = { frac {1} { sqrt { rho _ {m}}}} { widehat {H}} { sqrt { rho _ {m}}}}$

следует из приведенного выше баланса гидростатических сил:

${ displaystyle nabla mu = { frac {m} { rho _ {m}}} nabla cdot mathbf {p} _ {Q} + nabla V.}$

Согласно термодинамике, в состоянии равновесия химический потенциал постоянен везде, что напрямую соответствует стационарному уравнению Шредингера. Следовательно, собственные значения уравнения Шредингера - это свободные энергии, которые отличаются от внутренних энергий системы. Внутренняя энергия частицы рассчитывается как

${ displaystyle varepsilon = mu - operatorname {tr} ( mathbf {p} _ {Q}) { frac {m} { rho _ {m}}} = - { frac { hbar ^ { 2}} {8m}} ( nabla ln rho _ {m}) ^ {2} + U}$

и относится к местным Коррекция Карла Фридриха фон Вайцзеккера.^[4] В случае, например, квантового гармонического осциллятора, легко показать, что энергия нулевой точки - значение химического потенциала осциллятора, в то время как внутренняя энергия осциллятора в основном состоянии равна нулю, ${ displaystyle varepsilon = 0}$. Следовательно, энергия нулевой точки представляет собой энергию для помещения статического осциллятора в вакуум, что еще раз показывает, что колебания вакуума являются причиной квантовой механики.

Смотрите также

• Квантовый потенциал
• Квантовая гидродинамика
• Бомовская квантовая механика

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Шёнберг, М. (1954). «О гидродинамической модели квантовой механики». Il Nuovo Cimento. 12 (1): 103–133. Bibcode:1954NCim ... 12..103S. Дои:10.1007 / BF02820368.