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In dem Wahrscheinlichkeit Modelle Martingal die zeitliche Entwicklung einer Zufallsgröße, bei der beim bisherigen Verlauf die bedingte Erwartung zukünftiger Werte immer gleich dem Gegenwartswert ist. Mit anderen Worten: Der erwartete weitere Anstieg oder Rückgang ist unabhängig vom bisherigen Verlauf und ist immer Null.

Historische Definition

Der Begriff Martingal (französisch Martingal = Zügel) kommt aus der Welt der Kasinos. Dort weist er auf eine bestimmte Spielstrategie hin. Nach jeder Niederlage erhöht der Spieler seinen Einsatz so, dass er beim ersten Gewinn alle vorherigen Verluste wieder wettmacht.

Als Glücksspielstrategie ist ein Martingal eine Rückversicherungspolice: Der Spieler hat eine hohe Chance, den ganzen Abend leicht positiv zu enden, und auch eine geringe Chance, vollständig bankrott zu gehen.

Infolgedessen kommt es manchmal vor, dass das Martingal als Strategie angesehen wird, bei der der Gewinn garantiert ist. Es gibt Websites, die die Technik als solche erklären und auf eine Reihe von Online-Casinos verweisen. Was jedoch verschwiegen wird, ist, dass Verluste, wenn auch selten, sehr hart sind, wenn sie passieren. Zudem haben viele Online Casinos Höchsteinsätze, sodass ein Martingalspieler seine Wettserie irgendwann nicht mehr fortsetzen kann. Auch wenn dies nicht der Fall ist, häufen sich die Verluste recht schnell, da man den Einsatz je nach Strategie jedes Mal deutlich erhöhen muss.

In einem fairen Glücksspiel stellt das Glück des Spielers (unabhängig von der verfolgten Strategie) ein Martingal im mathematischen Sinne des Wortes dar.

Definition

Ein echtes würdiges stochastischer Prozess${displaystyle (X_{t})_{tin T}}$ auf einem Gelegenheitsraum ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},P)}$ auf dem ein Filter ${displaystyle ({mathcal {F}}_{t})_{tin T}}$ gegeben heißt a Martingal (relativ zu ${displaystyle({mathcal {F}}_{t})}$), wie für alle ${Display-Stil Dose T}$

• ${displaystyle X_{t}}$${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$- ist messbar;
• ${displaystyle X_{t}}$ integrierbar ist, d.h. ${Display-Operatorname {E} |X_{t}|$;
• vor dem ${displaystyle s>t: Operatorname {E} (X_{s}|{mathcal {F}}_{t})=X_{t}quad { ext{fast sicher}}}$.

Beispiele

Sie ${displaystyle T=mathbb {N} }$ und ${displaystyle {K_{n}|nin mathbb {N} }}$ eine unendliche Reihe von voneinander unabhängigen stochastischen Variablen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 den Wert "Kopf" oder "Zahl" annehmen. Für jedes ${Anzeigestil nin T}$ ist die Variable ${displaystyle X_{n}}$ angegeben als die Häufigkeit, mit der das Ergebnis "Zahl" war minus der Häufigkeit, mit der das Ergebnis "Kopf" war ${displaystyle K_{0},ldots ,K_{n}}$, So

${displaystyle X_{n}=|{i|K_{i}{hbox{ ist Schwanz}}}|-|{i|K_{i}{hbox{ ist Köpfe}}}|}$

Das bedeutet, dass ${displaystyle X_{n}}$ unser gewinn ist na ${displaystyle n}$ wirft mit einer fairen Münze, und wir gewinnen einen Euro, wenn "Zahl" oben ist, und verlieren einen Euro, wenn "Kopf" das Ergebnis ist.

Der Prozess ${Anzeigestil (X_{n})_{nin T}}$ ist ein Martingal: Egal wie oft wir in der Vergangenheit gewonnen oder verloren haben, die Erwartung unseres zukünftigen Gewinns bleibt null.

${displaystyle operatorname {E} (X_{n k}|X_{0},X_{1},ldots ,X_{n})=X_{n}{hbox{ fast sicher}}.}$

Der Prozess ${Anzeigestil (X_{n})_{nin T}}$ ist der Stochastischer Spaziergang (in einer Dimension), die selbst in niederländischen Texten meist den englischen Namen trägt zielloser Spaziergang bekommt.

Etwas weniger offensichtlich, aber genauso wahr ist, dass die quadrierte Abweichung vom Mittelwert minus der mittleren quadratischen Abweichung vom Mittelwert

${Displaystil Y_{n}=X_{n}^{2}-n}$

bildet ein Martingal.

Das braunes Uhrwerk ist ein Martingal mit kontinuierlichem Zeitparameter.

Eine sehr allgemeine Klasse von Martingalen erhalten wir aus dem bedingten Erwartungswert einer gegebenen integrierbaren stochastischen Variablen X gegenüber einer wachsenden Familie von Sigma-Algebren:

${displaystyle X_{t}=Operatorname {E} (X|{mathcal {A}}_{t})}$

Der stochastische Gang und die braune Bewegung gehören nicht in diese Klasse.

Elementare Eigenschaft

Der Erwartungswert eines Martingals ist immer gleich.

Halbe Martingale

Wenn wir die Bedingung "fast sicher gleich" durch "fast sicher kleiner oder gleich" ersetzen, erhalten wir a oberes Martingal oder Super-Martingal:

${displaystyle operatorname {E} (X_{t}|{mathcal {A}}_{s})leq X_{s}{hbox{ fast sicher.}}}$

Das gegenteilige Konzept heißt unten Martingal oder Sub-Martingal:

${displaystyle operatorname {E} (X_{t}|{mathcal {A}}_{s})geq X_{s}{hbox{ fast sicher.}}}$

Ein Prozess ist natürlich genau dann ein Martingal, wenn er sowohl ein oberes als auch ein unteres Martingal ist.

Beispiel

Nehmen Sie noch einmal das Beispiel des stochastischen Spaziergangs, aber mit einer unausgeglichenen Münze, die im Durchschnitt sechsmal von zehn gegen uns fällt. Dann ist unser Vermögen kein Martingal mehr, sondern ein oberes Martingal.

Der durchschnittliche Verlust pro Runde beträgt 20 Cent. Es Unterschied zwischen unserem Vermögen und dem zu erwartenden durchschnittlichen Vermögen liegt wieder ein Martingal:

${Displaystil Y_{n}=X_{n} n/5}$

Stoppzeiten

Der Erwartungswert eines Martingals bei aale Stoppzeitso, gleich seinem allgemeinen Erwartungswert:

${Displaystil-Operatorname {E} (X_{S})=Operatorname {E} (X_{1}).}$