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In dem Wahrscheinlichkeit ist ein Stoppzeit in einem stochastischer Prozess eine zufällige Zeit, d.h. a zufällige Variable mit dem Wert a Uhrzeit, deren Realisierung von einem besonderen Ereignis im stochastischen Prozess abhängt. Eine Anhaltezeit hat die Eigenschaft, dass die Kenntnis des Prozesses bis zu einer bestimmten festen Zeit ausreicht, um zu wissen, ob die Zufallszeit bis dahin bereits stattgefunden hat.

Definition

Formal eine Stoppzeit auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P)}$ definiert in Bezug auf eine zunehmende Reihe von partiellenSigma-Algebra's ${displaystyle {{mathcal {A}}_{t}|tin T}}$ von ${displaystyle {mathcal {A}}}$ die durch a . indiziert sind total bestellt "Zeiterfassung" ${Anzeigestil T}$:für alle ${displaystyle s$ ist ${displaystyle {mathcal {A}}_{s}Untermenge {mathcal {A}}_{t}}$.

Wir nehmen an, dass zur eingestellten Zeit ${Anzeigestil T}$ eine Sigma-Algebra ist gegeben. In Praxisbeispielen ${Anzeigestil T}$ normalerweise die Sammlung von natürlich oder nicht negativ Real Zahlen, evtl. erweitert mit dem Element "unendlich"; dann ist diese zusätzliche Bedingung überhaupt kein Problem.

Eine Zufallsvariable ${Displaystil S:Omega oder T}$ heiß Stoppzeit (relativ zur aufsteigenden Familie der Sigma-Algebren) wie für alle ${Display-Stil Dose T}$

${displaystyle 1_{(Sleq t)}in {mathcal {A}}_{t}}$

Oft ist die aufsteigende Familie der Sigma-Algebren einfach die Information über die Vergangenheit eines stochastischen Prozesses ${displaystyle (X_{t}|tin T)}$:

${displaystyle {mathcal {A}}_{t}=sigma (X_{s}|sleq t)}$

Deshalb wird sie als "Stoppzeit relativ zu einem Prozess" bezeichnet.

Beispiel

Das erste Mal, wenn die braunes Uhrwerk eine vorgegebene Obergrenze überschreitet, ist eine Stoppzeit

Sie ${displaystyle T=mathbb {N} }$ und sie ${Anzeigestil (X_{n})_{n}}$ das eindimensionale Stochastischer Spaziergang. ergänzen ${Anzeigestil T}$ addiere den Wert unendlich und stimme willkürlich zu, dass ${displaystyle X_{infty }=0}$.

Definieren ${Anzeigestil S}$ als kleinster Zeitpunkt, wenn der Absolutwert des Prozesses 10 überschreitet:${displaystyle S:Omega oder T:omega mapto {hbox{min}}{nin mathbb {N} |X_{n}(omega )>10}}$Wir sind uns einig, dass das Minimum der leeren Menge unendlich ist.

Dann ist ${Anzeigestil S}$ eine Stoppzeit, denn die Veranstaltung ${displaystyle Sleq n}$ kann in Bezug auf die Vergangenheit des Prozesses umgeschrieben werden:

${displaystyle Sleq niff X_{1}>10{ ext{ and }}X_{2}>10{ ext{ and }}ldots { ext{ and }}X_{n}>10}$

und die rechte Seite definiert eindeutig ein Ereignis, das in Bezug auf die durch die erste erzeugte Dehnung messbar ist ${displaystyle n}$ Variablen des Prozesses.

Dies ist ein Sonderfall einer allgemeineren Klasse von Stoppzeiten, die Eintrittszeiten werden genannt.

Anwendung

Unter bestimmten Bedingungen ist die Erwartung von a Martingal, ausgewertet zu einer Stoppzeit, die der allgemeinen Erwartung des Martingals entspricht. Mit diesem intuitiv klaren Befund werden starke Ergebnisse bei der Untersuchung von Martingalen im Allgemeinen und der en braunes Uhrwerk bestimmtes.

Insbesondere die Wiederholung des zufälligen Gehens und der Brownschen Bewegung in zwei Dimensionen, und ihre vorübergehend in drei oder mehr Dimensionen wird es am einfachsten anhand von Stoppzeiten demonstriert.