WikiDer > Matrixzerlegung

In dem Lineare Algebra ist ein Matrixzerlegung ein Faktorisierung von a Matrix in normalerweise zwei Matrizen, die die ursprüngliche Matrix als Produkt haben. Bestimmte Analysen und Berechnungen sind bei der Zerlegung einfacher durchzuführen. Es gibt viele verschiedene Matrixzerlegungen, von denen jede für eine bestimmte Klasse von Problemen verwendet wird. Darunter sind:

• LU-Zerlegung
• QR-Zerlegung
• Cholesky-Zerlegung
• Doolittle-Zersetzung
• Crout-Zersetzung

Beispiel

Im numerische Analyse sind verschiedene Zerlegungen für die Implementierung effizienter MatrixAlgorithmen benutzt.

Beim Lösen von a lineares Gleichungssystem${displaystyle Ax=b}$ kann die Matrix ${Anzeigestil A}$ zum Beispiel geparst werden mit LU-Zerlegung. Die LU-Zerlegung faktorisiert eine Matrix in a untere Dreiecksmatrix${Anzeigestil L}$ und ein obere Dreiecksmatrix${Displaystil U.}$ Die Systeme ${Anzeigestil L(Ux)=b}$ und ${Anzeigestil Ux=L^{-1}b}$ erfordern weniger Additionen und Multiplikationen zum Lösen, obwohl ungenaue Berechnungen, wie z Gleitkomma Zahlen, erfordert deutlich mehr Ziffern.

Ebenso die QR-Zerlegung${Anzeigestil A}$ aus wenn ${Anzeigestil A=QR}$ mit ${Anzeigestil Q}$ ein unitäre Matrix und ${Anzeigestil R}$ eine obere Dreiecksmatrix. Das System ${Anzeigestil Q(Rx)=b}$ wird gelöst durch ${Anzeigestil Rx=Q^{ext{T}}b=c,}$ und das System ${Anzeigestil Rx=c}$ wird durch "Rücksubstitution" gelöst. Die Anzahl der erforderlichen Additionen und Multiplikationen ist etwa doppelt so hoch wie bei der Verwendung der LU-Zerlegung, aber bei ungenauen Berechnungen benötigt die QR-Zerlegung nicht mehr Stellen, da die QR-Zerlegung numerisch stabil ist.