WikiDer > LU-Zerlegung

Das LU-Zerlegung von a Matrixein ist der Zersetzung einer Matrix in einem niedrigerenDreiecksmatrixl (dt.: Lower), eine obere Dreiecksmatrix SIE (dt.: Upper) und a Permutationsmatrixp, so dass:

${displaystyle ,PA=LU}$

mit anderen Worten

${displaystyle ,A=P^{-1}LU}$.

Diese Zerlegung ist in der numerische Mathematik verwendet, um Systeme von . zu verbinden lineare Gleichungen zu lösen oder zu bestimmend einer Matrix.

Eine Aussage der Lineare Algebra sagt das für jeden invertierbare Matrixein eine LU-Zerlegung existiert. Manchmal ist das sogar möglich

${Anzeigestil P=I}$ (das Identitätsmatrix) wählen.

In diesem Fall hat die Zerlegung die Form:

${Anzeigestil A=LU}$.

Definitionen

spät ein ein quadratische Matrix sein. EIN LU-Zerlegung von ein ist eine Aufschlüsselung von ein in Form

${Anzeigestil A=LU}$,

in welchem l (unten) und SIE (oben) sind die unteren bzw. oberen Dreiecksmatrizen (beide mit der gleichen Dimension). Dies bedeutet, dass über dem Diagonale von l und unterhalb der Diagonale von SIE nur Nullen.

Für eine 3×3-Matrix sieht das so aus:

${displaystyle { egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}/a_{21}&a_{22}&a_{23}/a_{31}&a_{32}&a_{33}/end{bmatrix} }={ egin{bmatrix}l_{11}&0&0/l_{21}&l_{22}&0/l_{31}&l_{32}&l_{33}/end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}u_{11} &u_{12}&u_{13}/0&u_{22}&u_{23}/0&0&u_{33}/end{bmatrix}}.}$

Beachten Sie, dass es in der ursprünglichen Matrix 9 (oder nein×nein) sind Elemente und in l und SIE zusammen 12 (oder (nein 1)×nein). Dieses Redundanz kann auf verschiedene Weise beseitigt werden:

• In dem Doolittles Methode sind die Diagonalelemente von l gleich 1;
• In dem Methode von Crout sind die Diagonalelemente von SIE gleich 1;
• In dem Choleskys Methode, die für symmetrische Matrizen verwendet wird, sind die Diagonalelemente von SIE ähnlich dem von l (SIE gibt es die transponierte Matrix von l).

Bei diesen Methoden, l und SIE erhalten durch eine Variation des Gauss-Eliminierung.

EIN LDU-Zerlegung ist eine Zerlegung der Form

${Anzeigestil A=LDU}$,

in welchem d ein diagonale Matrix ist und l und SIE sind Dreiecksmatrizen, bei denen alle Elemente auf den Diagonalen gleich 1 sind.

EIN LUP-Zerlegung ist eine Zerlegung der Form

${Anzeigestil A=LUP}$,

in welchem l und SIE sind wieder untere und obere Dreiecksmatrizen und p ist eine Permutationsmatrix, eine Matrix aus Nullen und Einsen in jedem Warteschlange Und jeder Säule hat genau ein Element gleich 1. Die Permutationsmatrix ist zunächst de Einheitenmatrix. Bei Berechnungen ist es manchmal erforderlich, zwei Zeilen zu vertauschen, um eine Division durch Null zu vermeiden. Dies geschieht auch in der Permutationsmatrix, die verfolgt, welche Zeilen wo landen.

Anwendung

Angenommen, wir wollen das lineare Gleichungssystem lösen, das in Bezug auf die Matrix ein wird beschrieben als:

Axt = b,

bei welchem ein ein nein×ich-Matrix ist und a b ein nein-dimensional Vektor.

wenn l, SIE und p sei so, dass die LU-Zerlegung von ein trifft

PA = LU,

dann gilt,

ein = p⁻¹LU.

Das zu lösende System lautet also:

p⁻¹LUX = b.

Wir lösen:

Ly = PN,

Ux = ja.

Dies sind zwei relativ einfach zu lösende Dreiecksmatrixsysteme. Es gilt:

Ux = l⁻¹PN

So:

p⁻¹LUX = b.

Dies reduziert das ursprüngliche, möglicherweise schwer zu lösende System auf zwei einfachere Systeme linearer Gleichungen.

Beispiel

Angenommen, wir wollen die Gleichung ${displaystyle Ax=b}$ lösen mit ${Anzeigestil A}$ und ${displaystyle b}$ gegeben von:

${displaystyle A={ egin{pmatrix}3&-7&-2&2/-3&5&1&0/6&-4&0&-5/-9&5&-5&12/end{pmatrix}}}$ und ${displaystyle b={ egin{pmatrix}-9/5/7/11/end{pmatrix}}}$

Die Matrix ein kann wie folgt als LU-Zerlegung geschrieben werden:

ein = LU mit ${displaystyle L={ egin{pmatrix}1&0&0&0/-1&1&0&0/2&-5&1&0/-3&8&3&1/end{pmatrix}}}$ und ${displaystyle U={ egin{pmatrix}3&-7&-2&2/0&-2&-1&2/0&0&-1&1/0&0&0&-1/end{pmatrix}}}$.

Für diese LU-Zerlegung ist p die Identitätsmatrix.

Wir können nun die ursprüngliche Matrixgleichung auf die beiden Gleichungen reduzieren Ly = PN = b und Ux = ja.

Lösung von Ly = b ergibt sich ja = (–9, –4, 5, 1) und die Lösung von Ux = ja ist X = (3, 4, –6, –1). X ist auch die Lösung der ursprünglichen Matrixgleichung.

Testfall für Computerprogramme

Einer der klassischen Testfälle für Computerprogramme, die die LU-Zerlegung durchführen, ist der Hilbert-Matrix, die numerisch schlecht konditioniert, aber sicherlich invertierbar ist.

Siehe auch

• Gauss-Eliminierung
• Cholesky-Zerlegung
• QR-Zerlegung