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In dem Mathematik ist der Faktorisierung wenn es faktorisieren von a Produkt das Produkt in kleinere Teile umschreiben, die zusammenpassen multipliziert Rückkehr zum Originalprodukt. Diese kleineren Teile werden als Faktoren des Originalprodukts bezeichnet. Zum Beispiel die ganze Zahlen, Polynome und Matrizen faktorisiert werden kann. Für den Fall, dass die Faktoren einer positiven ganzen Zahl berechnet werden, spricht man von in Primfaktoren zerlegen. Eine Zahl, die nicht weiter in Primfaktoren zerlegt werden kann, heißt a Primzahl. Ein Polynom oder eine Matrix, die nicht als Produkt kleinerer Faktoren geschrieben werden kann, heißt irreduzibel.

Das Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist, eindeutig als Produkt von Primfaktoren geschrieben werden kann.

Das Fundamentalsatz der Algebra ist, dass jedes Polynom f(x) in einem VariableX, von denen die Koeffizienten ganze, rational, Real oder komplexe Zahlen sein, in der komplexe Ebene ein Null Punkte hast. Annehmen nein das Grad von f ist. Die direkte Konsequenz aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass f(x) lässt sich in ein Produkt von zerlegen nein lineare Faktoren ${displaystyle x-c_{i}}$, in dem jeder ${displaystyle c_{i}}$ ist eine komplexe Zahl.

Beispiele

Die Zahl 15 kann in die Faktoren 3 und 5 eingerechnet werden, da ${displaystyle 15=3 imes 5}$. Ebenso kann die Zahl 8 faktorisiert werden als ${displaystyle 8=2 mal 2 mal 2}$. Das Polynom ${Anzeigestil x^{2}-4}$ kann aufgelöst werden als ${Anzeigestil (x2) (x-2)}$. Und ${Anzeigestil x^{4}-16}$ kann aufgelöst werden als ${Anzeigestil (x^{2}-4)(x^{2} 4)}$, die wiederum weiter zerlegt werden kann in ${Anzeigestil (x-2)(x 2)(x^{2} 4)}$.

Ob ein gegebener Faktor reduzierbar ist oder nicht, hängt von der Menge der Zahlen ab, die bei der Multiplikation verwendet werden. Somit ist das Polynom ${Anzeigestil x^{2} 4}$ irreduzibel als Polynom mit ganzzahliger oder reeller Möhren, kann aber als Polynom mit komplexen Nullstellen aufgespalten werden:

${Anzeigestil x^{2} 4=(x 2i)(x-2i)}$

Quadratische Gleichungen kann weiter aufgelöst werden, zum Beispiel

${Anzeigestil x^{2} 2x-15=0}$

mit dem Summe-Produkt-Methode:

${Anzeigestil (x5) (x-3)=0}$

${Anzeigestil x 5=0}$ oder ${Anzeigestil x-3=0}$

${Anzeigestil x=-5}$ oder ${Anzeigestil x=3}$

Das diskriminierend muss größer oder gleich 0 sein.

Techniken

Um eine natürliche Zahl in Primfaktoren zu zerlegen, gibt es ein einfaches Algorithmus: um die Teilbarkeit aller Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge (wiederholt) zu untersuchen, ggf. die Division durchführen und mit dem Quotienten weiterarbeiten. Der Algorithmus stoppt, wenn die zu untersuchende Primzahl größer als die verbleibende zu faktorierende Zahl ist.

Polynome in einer Variablen haben einen linearen Teiler der Form ${Anzeigestil x-a}$dann und nur dann, wenn${Anzeigestil a}$ ein Null Punkte ist vom Polynom. Mit der Horner-Schema Ist es möglich, effizient zu überprüfen, ob ${Anzeigestil a}$ ist ein Nullpunkt. Für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ermöglicht dies, alle linearen Teiler in endlich vielen Schritten zu finden.

Ein Algorithmus, der eine Matrix als Produkt anderer Matrizen schreibt, um damit besser rechnen zu können, wird als Dekompositionsalgorithmus bezeichnet. Beispiele sind die LU-Zerlegung und der QR-Zerlegung.

Tabelle der Primfaktoren

• Tabelle der Primfaktoren

Externe Links

• (und) WIMS, wims.unice.fr, "Faktoris".