WikiDer > Максимальный тор

Maximal torus

в математический теория компактные группы Ли особую роль играют подгруппы тора, в частности максимальный тор подгруппы.

А тор в компактном Группа Ли г это компактный, связанный, абелевский Подгруппа Ли из г (и, следовательно, изоморфен[1] стандартный тор Тп). А максимальный тор является максимальной среди таких подгрупп. Это, Т является максимальным тором, если для любого тора Т'Содержащий Т у нас есть Т = Т′. Каждый тор содержится в максимальном торе просто тем, что размерный соображения. Некомпактная группа Ли может не иметь нетривиальных торов (например, рп).

Размерность максимального тора в г называется ранг из г. Ранг четко определенный так как все максимальные торы оказываются сопрягать. Для полупростой групп ранг равен количеству узлов в связанных Диаграмма Дынкина.

Примеры

В унитарная группа U (п) имеет в качестве максимального тора подгруппу всех диагональные матрицы. Это,

Т очевидно изоморфен произведению п окружности, поэтому унитарная группа U (п) имеет звание п. Максимальный тор в особая унитарная группа SU (п) ⊂ U (п) - это просто пересечение Т и SU (п) который является тором размерностип − 1.

Максимальный тор в специальная ортогональная группа ТАК (2п) задается множеством всех одновременных вращения при любом фиксированном выборе п попарно ортогональные плоскости (т. е. двумерные векторные пространства). Конкретно максимальный тор состоит из всех блочно-диагональных матриц с диагональные блоки, где каждый диагональный блок представляет собой матрицу вращения, а также максимальный тор в группе SO (2п+1), где действие фиксирует оставшееся направление. Таким образом, как SO (2п) и SO (2п+1) иметь звание п. Например, в группа вращения SO (3) максимальные торы задаются вращениями вокруг фиксированной оси.

В симплектическая группа Sp (п) имеет звание п. Максимальный тор задается множеством всех диагональных матриц, все элементы которых лежат в фиксированной комплексной подалгебре ЧАС.

Свойства

Позволять г - компактная связная группа Ли и пусть быть Алгебра Ли из г. Первым основным результатом является теорема о торе, которую можно сформулировать следующим образом:[2]

Теорема о торе: Если Т один фиксированный максимальный тор в г, то каждый элемент г сопряжен с элементом Т.

Эта теорема имеет следующие следствия:

  • Все максимальные торы в г сопряжены.[3]
  • Все максимальные торы имеют одинаковую размерность, известную как ранг из г.
  • Максимальный тор в г максимальная абелева подгруппа, но обратное не обязательно.[4]
  • Максимальные торы в г - в точности подгруппы Ли, соответствующие максимальным абелевым подалгебрам в [5] (ср. Подалгебра Картана)
  • Каждый элемент г лежит в некотором максимальном торе; Таким образом экспоненциальная карта для г сюръективно.
  • Если г имеет размер п и ранг р тогда пр даже.

Корневая система

Если Т является максимальным тором в компактной группе Ли г, можно определить корневая система следующим образом. Корни - это веса для сопряженного действия Т на комплексифицированной алгебре Ли г. Чтобы быть более точным, пусть обозначим алгебру Ли Т, позволять обозначим алгебру Ли , и разреши обозначают комплексификацию . Тогда мы говорим, что элемент это корень для г относительно Т если и существует ненулевое такой, что

для всех . Вот фиксированный внутренний продукт на инвариантный относительно присоединенного действия связных компактных групп Ли.

Корневая система как подмножество алгебры Ли из Т, имеет все обычные свойства корневой системы, за исключением того, что корни не могут охватывать .[6] Корневая система - ключевой инструмент в понимании классификация и теория представлений из г.

Группа Вейля

Учитывая тор Т (не обязательно максимальное), Группа Вейля из г относительно Т можно определить как нормализатор из Т по модулю централизатор из Т. Это,

Зафиксируем максимальный тор в Г; то соответствующая группа Вейля называется группой Вейля группы г (с точностью до изоморфизма зависит от выбора Т).

Первые два основных результата о группе Вейля заключаются в следующем.

  • Централизатор Т в г равно Т, поэтому группа Вейля равна N(Т)/Т.[7]
  • Группа Вейля порождается размышлениями о корнях ассоциированной алгебры Ли.[8] Таким образом, группа Вейля Т изоморфен Группа Вейля из корневая система алгебры Ли г.

Перечислим некоторые следствия этих основных результатов.

В теория представлений из г по существу определяется Т и W.

В качестве примера рассмотрим случай с участием диагональная подгруппа . потом принадлежит если и только если отображает каждый стандартный базовый элемент к множеству некоторого другого стандартного базового элемента , то есть тогда и только тогда, когда переставляет стандартные базовые элементы с точностью до умножения на некоторые константы. Группа Вейля в этом случае является группой перестановок на элементы.

Интегральная формула Вейля

Предположим ж является непрерывной функцией на г. Тогда интеграл по г из ж относительно нормированной меры Хаара dg можно вычислить следующим образом:

где нормализованная мера объема на фактормногообразии и нормированная мера Хаара на Т.[10] Здесь Δ задается Формула знаменателя Вейля и - порядок группы Вейля. Важный частный случай этого результата возникает, когда ж это функция класса, то есть функция, инвариантная относительно сопряжения. В этом случае мы имеем

Рассмотрим в качестве примера случай , с участием диагональная подгруппа. Тогда интегральная формула Вейля для функций классов принимает следующий явный вид:[11]

Вот , нормированная мера Хаара на является , и обозначает диагональную матрицу с диагональными элементами и .

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Зал 2015 Теорема 11.2.
  2. ^ Зал 2015 Лемма 11.12.
  3. ^ Зал 2015 Теорема 11.9.
  4. ^ Зал 2015 Теорема 11.36 и упражнение 11.5.
  5. ^ Зал 2015 Предложение 11.7
  6. ^ Зал 2015 Раздел 11.7
  7. ^ Зал 2015 Теорема 11.36.
  8. ^ Зал 2015 Теорема 11.36.
  9. ^ Зал 2015 Теорема 11.39.
  10. ^ Зал 2015 Теорема 11.30 и предложение 12.24.
  11. ^ Зал 2015 Пример 11.33
  • Адамс, Дж. Ф. (1969), Лекции о группах Ли, Издательство Чикагского университета, ISBN 0226005305
  • Бурбаки, Н. (1982), Groupes et algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X
  • Дьедонне, Дж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, глава XXI., Трактат по анализу, 5, Academic Press, ISBN 012215505X
  • Duistermaat, J.J .; Колк, А. (2000), Группы Ли, Universitext, Springer, ISBN 3540152938
  • Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
  • Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Academic Press, ISBN 0821828487
  • Хохшильд, Г. (1965), Строение групп Ли, Холден-Дэй