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Modale logica

Modale Logik kann als Erweiterung anderer gesehen werden Logiks, wie die Aussagelogik oder der Prädikatslogik. Es wird extra geben Betreiber verwendet, die Modalitäten ausdrückt. Ursprünglich waren dies die Modalitäten Es ist möglich, dass und es ist nötig dass, aber später wurden unzählige andere Modalitäten vorgeschlagen, für Zeit, Glauben, Unsicherheit, usw. anzuzeigen. Eine Arbeit, die an der Wurzel der Modallogik liegt, ist Ein Überblick über die symbolische Logik des amerikanischen Philosophen Clarence Irving Lewis (1918).

Für die Semantik von Modallogiken sind oft Kripke-Modelle benutzt.

Modale Aussagenlogik

Die modale Aussagenlogik ist eine weit verbreitete modale Logik. Es ist ein Aussagelogik die zum Beispiel um Ein-Stellen-Operatoren für . bzw. . erweitert wurde Es ist möglich, dass und es ist nötig dass. Es ist möglich, dass p (bei welchem p ein Vorschlag is) kann beispielsweise dargestellt werden mit MP oder M(p), aber es ist üblich, dafür ein Symbol zu verwenden, den Diamanten (Englisch: Diamant): ${displaystyle Diamant {p}}$ . Analog dazu wäre es ist nötig dass kann angezeigt werden als z.B. np oder N(p), aber normalerweise geschieht dies mit dem Quadrat (Englisch: Box): ${displaystyleBox{p}}$

Syntax

Sei eine Menge von Aussagenvariablen. Wohlgeformte Formeln (wffs) werden dann nach folgenden Regeln gebildet:

eine Aussagevariable ${displaystyle p}$ ist ein wff;
für den Fall, dass ${Anzeigestil phi}$ ist ein wff, dann ${displaystyle nicht phi}$ auch ein wff;
für den Fall, dass ${Anzeigestil phi}$ und ${Anzeigestil psi }$ sind wffs, dann sind ${Anzeigestil Phi Country Psi}$ , ${Anzeigestil phi lor psi }$ und ${Anzeigestil phi o psi }$ auch wffs;
für den Fall, dass ${Anzeigestil phi}$ ist ein wff, dann sein ${Anzeigestil Diamant-Phi}$ und ${displaystyleBox{phi}}$ auch wffs;
keine anderen Formeln sind wffs.

Die ersten drei Zeilen sind aus dem (gewöhnlichen) Aussagelogik; die vierte Zeile ist neu in der modalen Aussagenlogik.

Die beiden Modaloperatoren können mit den folgenden beiden Äquivalenzen zueinander definiert werden:

${displaystyle Diamond {phi}Pfeil nach links z. B. Box {z. B. phi}}$
${displaystyle Box {phi}Pfeil nach links, z. B. Raute {z. B. phi}}$

In Worten ausgedrückt, sagen diese Äquivalenzen:

${Anzeigestil phi}$ ist möglicherweise wahr, wenn und nur wenn es nicht notwendig ist, dass ${Anzeigestil phi}$ ist nicht wahr.
${Anzeigestil phi}$ ist notwendigerweise wahr, wenn und nur wenn es nicht möglich ist, dass ${Anzeigestil phi}$ ist nicht wahr.

Der Übersichtlichkeit halber werden wir beide Operatoren verwenden.

Daraus folgt auch:

${displaystyle zB Raute {phi}LinksrechtesPfeilfeld {zB phi}}$
${displaystyle zB Kästchen {phi}LinksRechtspfeil Raute {zB phi}}$

Das Modaltiefe einer Modalformel wird die höchste in der Formel gefundene Anzahl von Quadraten verschachtelt. Somit ist die Modaltiefe der Formel ${displaystyle Box (Box pightarrow q)ightarrow (Box Box pightarrow Box q)}$ gleich zwei und in ${displaystyleBox(pightarrowBoxp)}$ das sind auch zwei. Schon seit ${Displaystil Diamant }$ gleich ${displaystyle zB Box zB }$ , ist die modale Tiefe von ${displaystyle Box Diamond p}$ gleich zwei, weil man die Formel umschreiben kann zu ${displaystyle Box zB Box zB p}$ .

Semantik

Für die Semantik der modalen Aussagenlogik gilt: Kripke-Modelle benutzt. Diese Modelle können zum Beispiel mit Tabellen dargestellt werden, aber oft werden sie grafisch mit Knoten dargestellt, die mögliche Welten oder Zustände darstellen, und Übergänge zwischen diesen Knoten (die Zugänglichkeitsbeziehung). Wenn ein Übergang (durch einen Pfeil angezeigt) von Knoten ein knoten B, wir sagen diese Welt B aus der Welt ein zugänglich oder zugänglich. Die Semantik der gewöhnlichen Aussagenoperationen bleibt dieselbe; die Semantik der Modaloperatoren ist wie folgt definiert:

${displaystyle Diamant {p}}$ ist wahr in der Welt w₀desda zumindest eine Welt davon w₀ zugänglich, in dem p wo ist.
${displaystyleBox{p}}$ ist wahr in der Welt w₀ desda in allen von w₀ zugängliche Welten p wo ist.

Modale Prädikatenlogik

Genauso wie man modale Aussagenlogik erhält, indem man die unären Modaloperatoren zur Aussagenlogik hinzufügt ${Displaystil Diamant }$ und ${displaystyleBox}$ kann auch von einem Van hinzugefügt werden Prädikatslogik modale Prädikatenlogik erstellen. Ein Beispiel für eine Formel aus dieser Logik ist:

{displaystyle Box forall (x):K(x)ightarrow V(x)}

was zum Beispiel die Notwendigkeit zum Ausdruck bringen könnte, dass alle Kanarienvögel Vögel sein müssen.

Zeitlogik

sehen Zeitlogik für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Zeitlogik von Arthur Prior kann als Modallogik angesehen werden, bei der den Modaloperatoren eine zeitbezogene Interpretation gegeben wird. Wo normalerweise in Zukunft wird p der Fall sein mit Fp ausgedrückt wird, hätte dies zum Beispiel genauso gut sein können ${Displaystyle-Box p}$ angezeigt werden kann, wo ${displaystyleBox }$ bekommt also eine ganz andere Interpretation als die oben skizzierte, statt der Notwendigkeit würde es das Futur ausdrücken. Es ist jedoch üblich, dafür Buchstaben zu verwenden, die eigentlich für Modaloperatoren stehen.

deontische Logik

Die deontische Logik verwendet das Symbol ${Anzeigestil O}$ , was für "obligatorisch das" steht. Aus diesem Symbol werden bestimmt: ${Anzeigestil P}$ (es ist erlaubt/erlaubt) und ${Anzeigestil F}$ (es ist verboten/verboten): ${displaystyle Pp=zB Oeg p}$ (p ist erlaubt bedeutet, dass es nicht obligatorisch ist, p nicht zu tun) und ${displaystyle Fp=Oeg p}$ (p ist verboten bedeutet, dass es obligatorisch ist, p nicht zu tun).

Die deontische Variante des Modalaxioms: ${displaystyle Oightarrow p}$ gilt nicht für die deontische Logik. Die Leute werden nicht immer tun, was erforderlich ist. Um dies zu überwinden, gibt es ein schwächeres Axiom in der deontischen Logik: ${displaystyle Oightarrow Pp}$ (Pflichtaktionen sind erlaubt).