WikiDer > Успокаивающий

Mollifier
Успокаивающий (вверху) в измерение один. Внизу красным цветом изображена функция с угловым (слева) и резким скачком (справа), а синим - его смягченная версия.

В математика, успокаивающие (также известен как приближения к тождеству) находятся гладкие функции со специальными свойствами, например, в теория распределения создать последовательности гладких функций, аппроксимирующих негладкую (обобщенные) функции, через свертка. Интуитивно, учитывая довольно нерегулярную функцию, сворачивая ее с помощью смягчителя, функция становится «смягченной», то есть ее резкие черты сглаживаются, оставаясь при этом близкими к исходной негладкой (обобщенной) функции.[1]

Они также известны как Успокаивающие Фридрихса после Курт Отто Фридрихс, кто их представил.[2]

Исторические заметки

Смягчители были введены Курт Отто Фридрихс в его статье (Фридрихс 1944 г., pp. 136–139), который считается переломным в современной теории уравнения в частных производных.[3] Название этого математического объекта имело любопытное происхождение, и Питер Лакс рассказывает всю историю в своем комментарии к статье, опубликованной в "Фридрихсе" "Выберите".[4] По его словам, в то время математик Дональд Александр Фландерс был коллегой Фридрихса: так как он любил консультироваться с коллегами об использовании английского языка, он попросил Фландерса совета, как назвать оператор сглаживания, который он использует.[3] Фландрия была пуританин, которого друзья прозвали Молл в честь Moll Flanders в знак признания его моральных качеств: он предложил называть новую математическую концепцию "успокаивающее средство"как игра слов, включающая прозвище Фландрии и глагол"успокаивать', что в переносном смысле означает «сгладить».[5]

Ранее Сергей Соболев использовал успокаивающие средства в своей эпохе создания бумаги 1938 года,[6] который содержит доказательство Теорема вложения Соболева: Сам Фридрихс признал работу Соболева по успокаивающим средствам, заявив, что: - "Эти успокаивающие были введены Соболевым и автором ...".[7]

Следует отметить, что термин «успокаивающий» подвергся лингвистический дрейф со времен этих основополагающих работ: Фридрихс определил как "успокаивающее средство"the интегральный оператор чья ядро является одной из функций, которые в настоящее время называются успокаивающими средствами. Однако, поскольку свойства линейного интегрального оператора полностью определяются его ядром, имя mollfier было унаследовано самим ядром в результате обычного использования.

Определение

Функция, подвергающаяся прогрессирующему смягчению.

Современное (основанное на распределении) определение

Определение 1. Если это гладкая функция на ℝп, п ≥ 1, удовлетворяющие следующим трем требованиям

(1)   это компактно поддерживается[8]
(2)  
(3)  

где это Дельта-функция Дирака и предел следует понимать в пространстве Шварца распределения, тогда это успокаивающее средство. Функция также может удовлетворять дополнительным условиям:[9] например, если он удовлетворяет

(4)   ≥ 0 для всех Икс ∈ ℝп, то он называется положительный успокаивающий эффект
(5)  = для некоторых бесконечно дифференцируемая функция : ℝ+ → ℝ, то он называется симметричный успокаивающий

Примечания к определению Фридрихса

Примечание 1. Когда теория распределения еще не был широко известен и не использовался,[10] свойство (3) выше было сформулировано, говоря, что свертка функции с заданной функцией, принадлежащей собственному Гильберта или Банахово пространство сходится так как ε → 0 к этой функции:[11] это именно то, что Фридрихс сделал.[12] Это также проясняет, почему успокаивающие относятся к приблизительные тождества.[13]

Заметка 2. Как кратко указано в разделе "Исторические заметки"в этой записи, первоначально термин" успокаивающее средство "обозначал следующее оператор свертки:[13][14]

где и это гладкая функция удовлетворяет первым трем условиям, указанным выше, и одному или нескольким дополнительным условиям положительности и симметрии.

Конкретный пример

Рассмотрим функция из переменная в ℝп определяется

где числовая постоянная обеспечивает нормализацию. Легко видеть, что эта функция бесконечно дифференцируемый, не аналитический с исчезновением производная для |Икс| = 1. поэтому может использоваться как успокаивающее средство, как описано выше: также легко увидеть, что определяет положительный и симметричный успокаивающий эффект.[15]

Функция в измерение один

Свойства

Все свойства успокаивающего средства связаны с его поведением под действием свертка: перечислим следующие, доказательства которых можно найти в каждом тексте на теория распределения.[16]

Сглаживающее свойство

Для любого распространения , следующее семейство сверток, индексируемое настоящий номер

где обозначает свертка, это семья гладкие функции.

Приближение идентичности

Для любого распространения , следующее семейство сверток, индексируемое настоящий номер сходится к

Поддержка свертки

Для любого распространения ,

где указывает на поддержка в смысле распределений и указывает их Дополнение Минковского.

Приложения

Основное применение смягчителей - доказать, что свойства действительны для гладкие функции также в негладких ситуациях:

Продукт раздач

В некоторых теориях обобщенные функции, смягчители используются для определения умножение распределений: точно, учитывая два распределения и , предел товар из гладкая функция и распространение

определяет (если существует) их продукт в различных теориях обобщенные функции.

"Слабые = сильные" теоремы

Очень неформально, смягчители используются для доказательства тождества двух различных типов расширений дифференциальных операторов: сильного расширения и слабое расширение. Бумага (Фридрихс 1944 г.) достаточно хорошо иллюстрирует эту концепцию: однако большое количество технических деталей, необходимых для того, чтобы показать, что это на самом деле означает, не позволяет их формально детализировать в этом кратком описании.

Плавные функции отсечки

Путем свертки характеристическая функция из единичный мяч с гладкая функция (определяется как в (3) с участием ), получаем функцию

который является гладкая функция равно на , при поддержке, содержащейся в . Это легко увидеть, заметив, что если и тогда . Следовательно, для ,

.

Легко увидеть, как эту конструкцию можно обобщить для получения гладкой функции, идентичной функции на окрестности данного компактный набор, и равным нулю в каждой точке, расстояние из этого набора больше заданного .[17] Такая функция называется (гладкой) функция отсечки: те функции используются для устранения особенностей заданного (обобщенный) функция от умножение. Они оставляют неизменным значение (обобщенный) функция они размножаются только на данном набор, таким образом изменяя его поддержка: также функции отсечки являются основными частями гладкие перегородки единства.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Уважение к топология данного пространства обобщенных функций.
  2. ^ Увидеть (Фридрихс 1944 г.С. 136–139).
  3. ^ а б См. Комментарий Питер Лакс на бумаге (Фридрихс 1944 г.) в (Фридрихс 1986, том 1, с. 117).
  4. ^ (Фридрихс 1986, том 1, с. 117)
  5. ^ В (Фридрихс 1986, том 1, с. 117) Лакс точно пишет:Об использовании английского языка Фридрихс любил советоваться со своим другом и коллегой Дональдом Фландерсом, потомком пуритан и самим пуританином, с высочайшими стандартами своего поведения, без цензуры по отношению к другим. В знак признания его моральных качеств друзья прозвали его Молл. На вопрос Фридрихса, как назвать сглаживающего оператора, Фландер заметил, что его можно назвать успокаивающим средством; Фридрихс был рад, как и в других случаях, напечатать эту шутку."
  6. ^ Увидеть (Соболев 1938).
  7. ^ Фридрихс (1953 г., п. 196).
  8. ^ Такие как функция удара
  9. ^ Увидеть (Джусти 1984, п. 11).
  10. ^ Как когда бумага (Фридрихс 1944 г.) был опубликован несколькими годами ранее Лоран Шварц широкое распространение его творчество.
  11. ^ Очевидно топология относительно сходимости является одним из Гильберта или Банахово пространство считается.
  12. ^ Увидеть (Фридрихс 1944 г., стр. 136–138), свойства ПИ, PII, PIII и их последствия PIII0.
  13. ^ а б Также в этом отношении Фридрихс (1944 г., стр. 132) говорит: - "Основным инструментом доказательства является некоторый класс аппроксимирующих единицу сглаживающих операторов, «успокаивающих»..
  14. ^ Увидеть (Фридрихс 1944 г., п. 137), пункт 2, "Интегральные операторы".
  15. ^ Увидеть (Хёрмандер 1990, п. 14), лемма 1.2.3: пример сформулирован в неявной форме, сначала определив
    для ,
    а затем учитывая
    для .
  16. ^ См. Например (Хёрмандер 1990).
  17. ^ Доказательство этого факта можно найти в (Хёрмандер 1990, п. 25), теорема 1.4.1.

использованная литература