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Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Buffon-Nadel auf eine Linie fällt, hängt direkt mit der Zahl pi zusammen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Buffon-Nadel auf eine Linie fällt, ist gleich der Größe des roten Winkels geteilt durch pi. Diese Zeichnung gilt für den Fall, dass die Länge der Nadel gleich dem Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden parallelen Linien ist.

Mit dem Buffonnadel wird in der Wahrscheinlichkeit bezeichnet ein Experiment, bei dem experimentell die Zahl Pi (${Anzeigestil pi}$) kann durch zufälliges Fallenlassen von Nadeln auf ein Raster paralleler Linien bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nadel auf eine der Linien fällt, hängt direkt mit der Zahl zusammen ${Anzeigestil pi}$. Diese Methode zu ${Anzeigestil pi}$ mit Wahrscheinlichkeitstheorie experimentell anzugehen, ist nach dem französischen Wissenschaftler benannt Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon. Die Methode ist a vor la lettre-Beispiel für ein sogenanntes Monte-Carlo-Methode.

Nadellänge gleich Abstand zwischen den Linien

Im einfachsten Fall ist die Länge ${Anzeigestil L}$ der Nadel gleich dem Abstand ${Anzeigestil D}$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden parallelen Linien des Gitters. Wählen Sie ein Koordinatensystem mit der x-Achse senkrecht zu den parallelen Linien und dem Ursprung in der Mitte zwischen zwei von ihnen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nadel auf einer Linie liegt, lässt sich wie folgt berechnen. Wegen der Symmetrie genügt es zu prüfen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, wenn der Mittelpunkt der Nadel zwischen ${Anzeigestil x=0}$ und ${Anzeigestil x=D/2}$ befindet, wie in der beiliegenden Abbildung gezeigt. Die Ecke ${Anzeigestil-Heta}$ die Nadel macht mit der horizontalen Linie dazwischen ${displaystyle -pi /2}$ und ${Anzeigestil pi /2}$, und liegt zwischen diesen beiden Werten Uniform geteilt. Befindet sich die Nadelmitte an Position x, schneidet die Nadel die Linie, wenn:

${displaystyle -arccos left({frac {D/2-x}{D/2}}ight)< heta$

weil ${Anzeigestil-Heta}$ ist gleichmäßig auf einem Längenintervall . verteilt ${Anzeigestil pi}$, ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit ${displaystyle cp(x)}$ dass eine an Position x zentrierte Nadel die nächste Linie schneidet, die der Länge des obigen Intervalls geteilt durch . entspricht ${Anzeigestil pi}$, So:

${displaystyle cp(x)={frac {2}{pi }}arccos left({frac {D-2x}{D}}ight)}$

Da die Position des Zentrums gleichmäßig über das Intervall [0,D/2] verteilt ist, ist die angeforderte Wahrscheinlichkeit ${displaystyle p}$ das Integral- über die möglichen Werte von ${Anzeigestil x}$, also von ${Anzeigestil x=0}$ und ${Anzeigestil x=D/2}$, geteilt durch die Länge dieses Intervalls:

${displaystyle p={frac {2}{D}}int _{0}^{D/2},{frac {2}{pi }}arccos left({frac {D-2x}{D}}ight) ,{m{d}}x={frac {2}{pi}}}$

Andere Längen

Andere Fälle, in denen die Länge ${Anzeigestil L}$ der Nadel ist nicht gleich dem Abstand ${Anzeigestil D}$ zwischen den Zeilen, kann analog mit a Integral- bestimmt werden.

• Wenn die Nadel kürzer als der Abstand zwischen den Linien ist, wird die Wahrscheinlichkeit:

${displaystyle p={frac {2}{D}},int _{(DL)/2}^{D/2},{frac {2}{pi }}arccos left({frac {D-2x}{ L}}ight),{m {d}}x={frac {2L}{Dpi }}}$

• Wenn die Nadel länger als der Abstand zwischen den Linien ist, wird die Wahrscheinlichkeit:

${displaystyle p={frac {2L}{Dpi }}-{frac {2}{Dpi }}left[{sqrt {L^{2}-D^{2}}} Darcsin left({frac {D}{ L}}Nacht)Nacht] 1}$

Schätzung von

Der italienische Mathematiker Mario Lazzarini führte 1901 ein Experiment mit Buffons Nadeln durch, bei dem Nadeln verwendet wurden, deren Länge 5/6 des Abstands zwischen den parallelen Linien betrug. Mit ${Anzeigestil n=3408}$ Nadeln bekam er die bekannte rationale Schätzung 355/113 für ${Anzeigestil pi}$, ein sehr genaues Ergebnis, das sich nur in der siebten Stelle nach dem Komma vom korrekten Wert unterscheidet.

Es wird vermutet, dass Lazzarini das Experiment nicht tatsächlich durchgeführt, sondern auf das Ergebnis hingearbeitet hat. Dies wird durch die Wahl der Anzahl von 3408 Experimenten und das Verhältnis unterstützt ${Anzeigestil L/D=5/6}$ zwischen der Länge ${Anzeigestil L}$ der Nadel und des Abstands ${Anzeigestil D}$ zwischen den Zeilen. Die Schätzung von ${Anzeigestil pi}$ beläuft sich schließlich auf:

${displaystyle {frac {2L}{D}}{frac {n}{k}}}$,

in welchem ${displaystyle k}$ ist die Häufigkeit, mit der die Nadel eine Linie schneidet. Um gut zur Fraktion 355/113 zu gelangen, müssen Sie:

${displaystyle {frac {2L}{D}}{frac {n}{k}}={frac {355}{113}}}$,

ist es auch ${Anzeigestil L/D=5/6}$ eine passende Wahl, damit

${displaystyle {frac {n}{k}}={frac {213}{113}}}$,

und zufällig(?) ist ${Displaystil n=3408=16 imes 213}$

Gut möglich, dass Lazzarini seinen Artikel nur als Scherz gedacht hat. Es erschien in einer Fachzeitschrift für Mathematiklehrer, und das genaue Lesen der Beschreibung der Maschine, was die Aufgabe erledigt hätte, zeigt sofort, dass sie das Experiment nicht richtig hätte durchführen können.

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