WikiDer > Stornierbare Singularität

In dem komplexe Analyse ist ein löschbare Singularität (manchmal entfernbare Singularität genannt) von a holomorphe Funktion ein Punkt in der diese Funktion undefiniert ist, aber in der sie so definiert werden kann, dass sie am singulären Punkt erweitert holomorph bleibt remains Domain.

Die Funktion

${displaystyle f(z)={frac {sin z}{z}},quad zeq 0}$

zum Beispiel hat a Singularität im ${Anzeigestil z=0}$. Diese Singularität kann aufgehoben werden durch ${Anzeigestil f(0)=1}$ definieren. Die resultierende Funktion, bezeichnet als ${Anzeigestil Sünde}$, ist ein kontinuierlich, eigentlich holomorphe Funktion.

Definition

wenn ${Displaystil U}$ ein offene Teilmenge von dem komplexe Ebene ist, ${Anzeigestil a}$ ein Punkt von ${Displaystil U}$ ist und ${displaystyle f:Usetminus {a} oder mathbb {C}}$ ein holomorphe Funktion ist, dann wird ${Anzeigestil a}$ ein löschbare Singularität vor dem ${displaystyle f}$ genannt, falls es eine holomorphe Funktion gibt ${displaystyle g:U oder mathbb {C}}$ existiert, was mit zusammenfällt ${displaystyle f}$ auf ${displaystyle Usetminus {a}}$. In diesem Fall heißt es ${displaystyle f}$Holomorph erweiterbar im ${Anzeigestil a}$.

Satz von Riemannmann

stellings theorem Riemann zeigt an, wann eine Singularität löschbar ist.

Gestell

Sie ${displaystyle f}$, ${Displaystil U}$ und ${Anzeigestil a}$ wie in der obigen Definition. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. ${displaystyle f}$ ist im Punkt holomorph erweiterbar ${Anzeigestil a}$.
2. ${displaystyle f}$ ist kontinuierlich erweiterbar in ${Anzeigestil a}$.
3. ${displaystyle f}$ ist begrenzt in a Umfeld von ${Anzeigestil a}$.
4. ${displaystyle lim _{z o a} (z-a)f(z)=0}$.

Beweise

Es ist leicht zu erkennen, dass: 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4). Für den Beweis von 4) ⇒ 1) halten wir es für ausreichend zu zeigen, dass ${displaystyle f}$analytisch ist in ${Anzeigestil a}$, das ist das ${displaystyle f}$ ein Potenzreihenentwicklung hat in ${Anzeigestil a}$. Dazu definieren wir:

${displaystyle h(z)={ egin{cases}(z-a)^{2}f(z)&zeq a,/0&z=aend{cases}}}$

Dann ist:

${Anzeigestil h(z)-h(a)=(z-a)(z-a)f(z)}$,

in welchem ${Anzeigestil (z-a)(z-a)f(z)}$, nach 4) ist eine stetige Funktion at ${Displaystil U}$. So ist ${displaystyle h}$ Holomorph an ${Displaystil U}$ und hat ein Entwicklung der Taylor-Reihe runden ${Anzeigestil a}$:

${displaystyle h(z)=a_{2}(z-a)^{2} a_{3}(z-a)^{3} ldots }$

Aber dann ${displaystyle g(z)={frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}}$ eine holomorphe Erweiterung von ${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil a}$.

Siehe auch

• Singularität
• Wesentliche Singularität
• Isolierte Singularität