WikiDer > Wesentliche Singularität

Plot der Funktion ${displaystyle exp(1/z)}$, zentriert auf die wesentliche Singularität in ${Anzeigestil z=0}$. Der Farbton repräsentiert das komplexe Argument und die Luminanz de Absolutwert. Dieses Diagramm zeigt, wie die Annäherung an die wesentliche Singularität aus verschiedenen Richtungen zu unterschiedlichem Verhalten führt (im Gegensatz zu einem Pol, der in diesem Diagramm einheitlich weiß wäre).

In dem komplexe Analyse ist ein wesentliche Singularität von a Funktion ein ernster" Singularität in deren Nähe diese Funktion ein extremes Verhalten zeigt. Eine wesentliche Singularität ist eine Singularität, die keine löschbare Singularität oder Schwimmbad ist.

Betrachten Sie a offene Teilmenge${Displaystil U}$ von dem komplexe Ebene${displaystyle mathbb {C} }$, enthält ein Element ${displaystyle ain U}$ und ein meromorphe Funktion

${displaystyle f:Usetminus {a} oder mathbb {C}}$

Der Punkt ${Anzeigestil a}$ wird zu einer wesentlichen Singularität für ${displaystyle f}$ aufgerufen, wenn der Punkt weder a . ist Schwimmbad noch a löschbare Singularität ist. Die Funktion

${Anzeigestil f(z)=e^{1/z}}$

hat zum Beispiel eine wesentliche Singularität im Punkt ${Anzeigestil z=0}$.

Der Punkt ${Anzeigestil a}$ ist eine wesentliche Singularität dann und nur dann, wenn das Grenze

${displaystyle lim _{z o a}f(z)}$

existiert weder als komplexe Zahl noch ist sie gleich unendlich. Dies ist genau dann der Fall, wenn oder ${displaystyle f}$ Polen in jedem Umfeld von ${Anzeigestil a}$ hat oder die Laurent Serie von ${displaystyle f}$ im punkt ${Anzeigestil a}$ hat unendlich viele Terme negativen Grades (was bedeutet, dass der "Hauptteil" eine unendliche Summe ist).

Das Verhalten einer meromorphen Funktion in der Nähe von essentiellen Singularitäten wird beschrieben durch die Satz von Weierstrass-Kasorat und auch von den stärkeren Satz von Picard. Diese letzte Aussage behauptet, dass in jedem Umfeld einer wesentlichen Singularität ${Anzeigestil a}$, die Funktion ${displaystyle f}$jeder komplexer Wert, außer vielleicht einem, kann unendlich oft dauern.

Siehe auch

• Singularität
• Isolierte Singularität
• Stornierbare Singularität

Verweise

• Wesentliche Singularität bei Mathworld. Zugegriffen unter 18. Februar 2008.
• Lars Ahlfors; Komplexe Analyse (Komplexe Analyse), McGraw-Hill, 1979

Externe Links

• (und) Eine wesentliche Singularität durch Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrationsprojekt.
• (und) Wesentliche Singularitäten auf dem Planeten Math