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Beispiel: Die Punkte${Anzeigestil(x,y)}$ die entsprechen ${Displaystil 1=x^{2} y^{2}=r^{2}}$ sein Blau farbig. Die Punkte ${Anzeigestil(x,y)}$ die entsprechen ${displaystyle x^{2} y^{2}$ sein rot farbig. Die roten Punkte bilden a offene Sammlung. Das Verband der roten und blauen Punkte wird a geschlossene Sammlung erwähnt.

In dem metrische Topologie und verwandte Bereiche der Mathematik wird ein Sammlung, ${Displaystil U}$, Öffnen genannt, wenn, intuitiv gesprochen, von irgendjemandem Punkt${Anzeigestil x}$ im ${Displaystil U}$ ein a unendlich klein kleine Bewegung in jede Richtung und immer noch Teil des Sets ${Displaystil U}$. Mit anderen Worten, die Entfernung zwischen jedem Punkt ${Anzeigestil x}$ im ${Displaystil U}$ und der Kante von ${Displaystil U}$ ist immer größer als Null.

Dies kann durch das Bild unten veranschaulicht werden. Intuitiv ist der randlose rote Bereich eine offene Menge: um jeden Punkt herum ${Anzeigestil x}$ kann man Umfeld (Bereich), ${Anzeigestil O}$ baue alles drumherum ${Anzeigestil x}$ weg, sondern ist auch Teil des Ganzen ${Displaystil U}$. Eine Sammlung, von der die ergänzen ist offen, heiß Geschlossen. In unserem Beispiel ist der blaue Kreis eine geschlossene Menge.

Siehe den Artikel über topologische Räume für die genauen Eigenschaften, auf die die Topologie (das Sammlung offene Mengen eines topologischen Raums) erfüllen müssen. Die bekanntesten Beispiele für offene Mengen sind die offenen Glühbirnen in einem metrischer Raum${Anzeigestil X}$ mit Metrik ${displaystyle d}$. Dies sind Mengen der Form

${displaystyle {yin Xmid d(x,y)$

für gegeben ${Anzeigestil xin X}$ und ${displaystyle r}$ ein reelle Zahl größer als 0.

Betrachten Sie als weiteres Beispiel die offene Intervall, ${Anzeigestil(0.1)}$, bestehend aus allen reale Nummern${Anzeigestil x}$ mit ${Anzeigestil 0$. Die Topologie hier ist die Topologie der Euklidischer Raum auf dem reellen Zahlenstrahl. Wir können dies auf zwei Arten betrachten. Da sich jeder Punkt im Intervall von 0 und 1 unterscheidet, ist der Abstand von diesem Punkt zum Kante immer ungleich Null. Oder äquivalent, für jeden Punkt innerhalb des Intervalls können wir ein unendlich kleines Stück in jede Richtung bewegen, ohne die Kante zu treffen, während wir immer noch innerhalb des Intervalls bleiben. Das Intervall ${Anzeigestil(0.1)}$, bestehend aus allen Zahlen ${Anzeigestil x}$ mit ${displaystyle 0$, ist in der Topologie des reellen Zahlenstrahls nicht offen; wenn man anfängt in ${Anzeigestil x=1}$ Auch eine infinitesimale Bewegung in positiver Richtung führt zu einer außerhalb des Intervalls ${Anzeigestil(0.1)}$ Sitzung.

Definitionen

Das Konzept einer offenen Menge kann in verschiedenen Allgemeinheitsgraden formalisiert werden.

Funktionsanalyse

EIN Sammlung im ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ wird Öffnen aufgerufen, wenn jeder Punkt ${Anzeigestil P}$ der Sammlung a interner Punkt ist.

Euklidischer Raum

Eine Teilmenge ${Displaystil U}$ des Euklidisch ${displaystyle n}$-Platz${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ wird Öffnen benannt als, gegebener Punkt ${displaystyle xinU}$, es gibt eine reelle Zahl ${Displaystil-Varepsilon >0}$ existiert, sodass jeder Punkt ${displaystyle yin mathbb {R} ^{n}}$ von denen die Euklidische Entfernung bis um ${Anzeigestil x}$ ist kleiner als ${Anzeigestil Varepsilon }$, auch zu ${Displaystil U}$ gehört. Äquivalent, ${Displaystil U}$ offen wie jeder punkt in ${Displaystil U}$ ein Umfeld gehört zu ${Displaystil U}$.

Metrische Räume

Eine Teilmenge ${Displaystil U}$ des metrischer Raum${Anzeigestil (M, d)}$ wird Öffnen benannt als, gegebener Punkt ${displaystyle xinU}$, es gibt eine reelle Zahl ${Displaystil-Varepsilon >0}$ existiert, sodass jeder Punkt ${Anzeigestil Yin M}$ mit ${Anzeigestil d(y,x)$, auch zu ${Displaystil U}$ gehört. Äquivalent, ${Displaystil U}$ offen wie jeder punkt in ${Displaystil U}$ ein Umfeld gehört zu ${Displaystil U}$.

Dies verallgemeinert das Beispiel des euklidischen Raums, da ein euklidischer Raum mit einem euklidischen Abstand ein metrischer Raum ist.

Topologische Räume

Im topologische Räume das Konzept der Offenheit wird als grundlegend angesehen. Angenommen, eine zufällige Sammlung ${Anzeigestil X}$ und ein Familie von Teilmengen von ${Anzeigestil X}$ die gewisse Qualitäten hat, die jede "vernünftige" Vorstellung von Offenheit befriedigen soll, wird zu einer solchen Familie ${displaystyle {mathcal {T}}}$ von Teilmengen a Topologie auf ${Anzeigestil X}$ erwähnt. Die Mitglieder der Familie werden die offene Sammlungen des topologischen Raums ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ erwähnt. Beachten Sie, dass unendlichQuerschnitte der offenen Sammlungen selbst müssen nicht geöffnet sein. Der Querschnitt aller Intervalle des Formulars ${Anzeigestil (-1/n,1/n)}$ wahr ${displaystyle n}$ ein positives gerade Zahl ist die Menge ${Anzeigestil {0}}$ die auf dem reellen Zahlenstrahl geschlossen ist. Sammlungen, die aufgebaut werden können als abzählbar viele offene Mengen werden bezeichnet als G-_δ Sammlungen.

Die topologische Definition einer offenen Menge verallgemeinert die Definition eines metrischen Raums: Wenn man mit einem metrischen Raum beginnt und eine offene Menge gleich oben definiert, dann ist die Familie aller offenen Mengen eine Topologie auf dem metrischen Raum. Jeder metrische Raum ist daher auf natürliche Weise ein topologischer Raum. Es gibt jedoch topologische Räume, die keine metrischen Räume sind.

Eigenschaften

• Das leere Sammlung ist sowohl offen als auch geschlossen.
• Das Verband einer beliebigen Anzahl offener Mengen ist offen.
• Das Überschneidung einer endlichen Anzahl offener Mengen ist offen.

Benutzen

Offene Sets sind von grundlegender Bedeutung im Topologie. Das Konzept ist erforderlich, um topologische Räume und andere topologische Strukturen, die mit den Konzepten von Nähe und Konvergenz Für ein Platz, wie metrisch-n und einheitliche Räume sowohl zu definieren als auch eine sinnvolle Bedeutung zu geben.

Jeder Teilmenge${Anzeigestil A}$ eines topologischen Raums ${Anzeigestil X}$ enthält eine (möglicherweise leere) offene Menge, die größte dieser offenen Mengen ist die intern von ${Anzeigestil A}$ erwähnt. Es kann konstruiert werden durch die Verband aller offenen Sätze eingesperrt ${Anzeigestil A}$.

Gegeben sind die topologischen Räume ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$, ist ein Funktion${displaystyle f}$ von ${Anzeigestil X}$ zu ${Anzeigestil Y}$kontinuierlich wenn es inverses Bild einer offenen Sammlung in ${Anzeigestil Y}$ auch geöffnet in ${Anzeigestil X}$. Das Bild ${displaystyle f}$ wird Öffnen benannt als die Bild einer offenen Sammlung in ${Anzeigestil X}$ ist geöffnet in ${Anzeigestil Y}$.

Eine offene Sammlung zum echter Zahlenstrahl hat die Eigenschaft, eine abzählbare Vereinigung von . zu sein zusammenhangslos Öffnen Intervalle ist.

Hinweis

Beachten Sie das oder eine bestimmte Sammlung ${Displaystil U}$ offen hängt vom umgebenden Raum ab. wenn ${Displaystil U}$ zum Beispiel ist definiert als die Menge der rationalen Zahlen im Intervall ${Anzeigestil(0.1)}$, dann ist ${Displaystil U}$ offen für die Rationale Zahlen, aber nicht geöffnet im reale Nummern. Das liegt daran, wenn ${Displaystil U}$in den rationalen Zahlen Es gibt keine irrationalen Zahlen, die sich mit der kleinstmöglichen Verschiebung von einer rationalen Zahl in eine andere verschieben lassen. Außerdem, wie nahe ein Element von ${Displaystil U}$ auch bei 0 oder 1 liegt, gibt es immer eine andere rationale Zahl, die näher an 0 oder 1 liegt, also für jedes Element von ${Displaystil U}$ Gibt es immer eine Möglichkeit, eine Bewegung zu machen, die klein genug ist, um Sie näher an 0 oder 1 zu bringen, während Sie noch drinnen sind? ${Displaystil U}$ bleibt. Aber wenn diese Sammlung in den reellen Zahlen das heißt, es gibt irrationale Zahlen unter allen rationalen Zahlen, und es ist möglich, ein Element von zu verschieben ${Displaystil U}$ zu einer irrationalen Zahl (die kein Teil und daher kein Element von . ist ${Displaystil U}$ ist). Also für jede Verschiebung eines Startelements von ${Displaystil U}$ zu einem bestimmten Endelement besteht immer ein geringerer Abstand vom Startelement zu einer irrationalen Zahl, die außerhalb liegt ${Displaystil U}$ Lügen. (Auch wenn diese irrationale Zahl zwischen 0 und 1 liegt, ist sie nicht Teil von ${Displaystil U}$, weil ${Displaystil U}$ enthält nur die rationalen Zahlen.)

Einige Sammlungen sind sowohl offen als auch geschlossen. Sie werden Clopen-Sammlungen erwähnt. Im ${displaystyle mathbb {R} }$ und andere verbunden Leerzeichen sind nur die leere Sammlung und den gesamten Raum klonen, während beispielsweise die Menge aller rationalen Zahlen kleiner als √2 klonen in den rationalen Zahlen ist. Andere Mengen sind weder offen noch geschlossen, wie das halboffene Intervall ${Anzeigestil(0.1)}$ im ${displaystyle mathbb {R} }$. Tatsächlich ist die Kollektion ${Anzeigestil(0.1)}$ das Verband der Kollektionen ${Anzeigestil(0.1)}$ (eine offene Sammlung) und ${Anzeigestil {1}}$ (eine geschlossene Sammlung). Ein wichtiger Punkt ist, dass eine offene Menge nicht das Gegenteil eines "geschlossene Sammlung"; eine abgeschlossene Menge ist definiert als die ergänzen einer offenen Sammlung.