WikiDer > Трансценденты Пенлеве

Painlevé transcendents

В математике Трансценденты Пенлеве являются решениями некоторых нелинейный второго порядка обычный дифференциальные уравнения в комплексной плоскости с Пенлеве недвижимость (единственные подвижные особенности - это полюсы), но которые, как правило, не разрешимы в терминах элементарные функции. Они были обнаруженыЭмиль Пикар (1889),Поль Пенлеве (1900, 1902),Ричард Фукс (1905), иБертран Гамбье (1910).

История

Трансценденты Пенлеве берут свое начало в изучении специальные функции, которые часто возникают как решения дифференциальных уравнений, а также при изучении изомонодромные деформации линейных дифференциальных уравнений. Одним из наиболее полезных классов специальных функций являются эллиптические функции. Они определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, у которых особенности иметь Пенлеве недвижимость: единственный подвижные особенности находятся полюса. Это свойство редко встречается в нелинейных уравнениях. Пуанкаре и Л. Фукс показали, что любое уравнение первого порядка со свойством Пенлеве можно преобразовать в уравнение Эллиптическая функция Вейерштрасса или Уравнение Риккати, которые все могут быть решены явно в терминах интегрирования и ранее известных специальных функций. Эмиль Пикар указал, что для порядков больше 1 могут возникать подвижные существенные особенности, и нашел частный случай того, что позже было названо уравнением Пенлеве VI (см. ниже) (для порядков больше 2 решения могут иметь движущиеся естественные границы). , Поль Пенлеве изучал дифференциальные уравнения второго порядка без подвижных особенностей. Он обнаружил, что с точностью до определенных преобразований каждое такое уравнение вида

(с участием р рациональную функцию) можно поместить в одну из пятидесяти канонические формы (перечислены в (Ince 1956)). Пенлеве (1900, 1902) обнаружил, что сорок четыре из пятидесяти уравнений сводимы в том смысле, что они могут быть решены в терминах ранее известных функций, оставив только шесть уравнений, требующих введения новых специальных функций для их решения. Были некоторые вычислительные ошибки, и в результате он пропустил три уравнения, включая общую форму Пенлеве VI. Ошибки были исправлены и классификация завершена учеником Пенлеве. Бертран Гамбье. Независимо от Пенлеве и Гамбье уравнение Пенлеве VI было найдено Ричард Фукс из совершенно других соображений: учился изомонодромные деформации линейных дифференциальных уравнений с регулярные особенности.Это был противоречивой открытой проблемой в течение многих лет, чтобы показать, что эти шесть уравнений действительно были неприводимыми для общих значений параметров (они иногда приводимы для специальных значений параметров, см ниже), но это было, наконец, доказано Нисиока (1988) и Хироши Умемура (1989Эти шесть нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка называются уравнениями Пенлеве, а их решения - трансцендентами Пенлеве.

Самая общая форма шестого уравнения была упущена Пенлеве, но была открыта в 1905 году Ричардом Фуксом (сыном Лазарь Фукс), как дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет особенность фуксова уравнения второго порядка с 4 регулярными особыми точками на п1 под деформации, сохраняющие монодромию. Он был добавлен в список Пенлеве Гамбье (1910).

Шази (1910, 1911) попытался распространить работу Пенлеве на уравнения более высокого порядка, найдя некоторые уравнения третьего порядка со свойством Пенлеве.

Список уравнений Пенлеве

Трансцендент Пенлеве первого типа
Трансцендент Пенлеве второго типа
Трансцендент Пенлеве третьего типа

Эти шесть уравнений, традиционно называемых Пенлеве I-VI, следующие:

  • Я (Пенлеве):
  • II (Пенлеве):
  • III (Пенлеве):
  • IV (Гамбье):
  • V (Гамбье):
  • VI (Р. Фукс):

Числа α, β, γ, δ - комплексные константы. Путем изменения масштаба у и т можно выбрать два параметра для типа III и один из параметров для типа V, так что эти типы действительно имеют только 2 и 3 независимых параметра.

Особенности

Особенности решений этих уравнений:

  • Точка ∞ и
  • Точка 0 для типов III, V и VI, а также
  • Точка 1 для типа VI и
  • Возможно некоторые подвижные столбы

Для типа I особенности являются (подвижными) двойными полюсами вычета 0, и все решения имеют бесконечное число таких полюсов на комплексной плоскости. Функции с двойным полюсом при z0 иметь расширение серии Лорана

сходящиеся в некоторой окрестности z0 (где час какое-то комплексное число). Расположение полюсов подробно описал (Бутру1913, 1914). Число полюсов в шаре радиуса р растет примерно как постоянное время р5/2.

Для типа II особенности - это все (подвижные) простые полюса.

Дегенерации

Первые пять уравнений Пенлеве являются вырождением шестого уравнения. Точнее говоря, некоторые из уравнений являются вырождением других согласно следующей диаграмме, которая также дает соответствующие вырождения уравнения Гаусса. гипергеометрическая функция

III Бессель
VI ГауссV КуммерII ВоздушныйВ одном
IV Эрмит-Вебер

Гамильтоновы системы

Все уравнения Пенлеве можно представить в виде Гамильтоновы системы.

Пример: если мы положим

то второе уравнение Пенлеве

эквивалентна гамильтоновой системе

для гамильтониана

Симметрии

А Преобразование Бэклунда представляет собой преобразование зависимых и независимых переменных дифференциального уравнения, которое преобразует его в аналогичное уравнение. Все уравнения Пенлеви имеют дискретные группы преобразований Беклунда, действующих на них, которые можно использовать для генерации новых решений из известных.

Пример типа I

Множество решений уравнения Пенлеве типа I

действует по симметрии 5-го порядка у→ ζ3у, т→ ζтгде ζ - корень пятой степени из 1. Имеются два решения, инвариантных относительно этого преобразования: одно с полюсом порядка 2 в точке 0, а другое - с нулем порядка 3 в точке 0.

Пример типа II

В гамильтоновом формализме уравнения Пенлеве типа II

с участием

два преобразования Беклунда даются

и

Оба они имеют порядок 2 и генерируют бесконечная диэдральная группа преобразований Беклунда (что на самом деле является аффинной группой Вейля группы A1; см. ниже). б= 1/2, то уравнение имеет решение у= 0; применение преобразований Беклунда порождает бесконечное семейство рациональных функций, которые являются решениями, например у=1/т, у=2(т3−2)/т(т3−4), ...

Окамото обнаружил, что пространство параметров каждого уравнения Пенлеве можно отождествить с Подалгебра Картана из полупростая алгебра Ли, так что действия аффинная группа Вейля поднимаем до преобразований Беклунда уравнений. Алгебры Ли для Pя, ПII, ПIII, ПIV, ПV, ПVI равны 0, A1, А1⊕A1, А2, А3, а D4,

Отношение к другим сферам

Одной из основных причин, по которой изучаются уравнения Пенлеве, является их связь с монодромиялинейных систем с регулярные особенности; в частности, Пенлеве VI был открыт Ричардом Фуксом благодаря этой связи. Эта тема описана в статье на изомонодромная деформация.

Уравнения Пенлеве - это редукции интегрируемых уравнения в частных производных; см. (М. Дж. Абловиц и П. А. Кларксон1991).

Все уравнения Пенлеве являются редукцией самодуальные уравнения Янга-Миллса; см. Абловица, Чакраварти и Хальбурда (2003).

Трансценденты Пенлеве появляются в теория случайных матриц в формуле для Распределение Трейси – Уидома, 2D Модель Изинга, то асимметричный простой процесс исключения и в двумерной квантовой гравитации.

Уравнение Пенлеве VI появляется в двумерная конформная теория поля: ему подчиняются комбинации конформные блоки на обоих и , где это центральный заряд Алгебра Вирасоро.

использованная литература

внешние ссылки