WikiDer > Уравнение Риккати

В математика, а Уравнение Риккати в самом узком смысле - это любой обыкновенное дифференциальное уравнение то есть квадратичный в неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида

${ displaystyle y '(x) = q_ {0} (x) + q_ {1} (x) , y (x) + q_ {2} (x) , y ^ {2} (x)}$

куда ${ Displaystyle q_ {0} (х) neq 0}$ и ${ Displaystyle q_ {2} (х) neq 0}$. Если ${ displaystyle q_ {0} (х) = 0}$ уравнение сводится к Уравнение Бернулли, а если ${ Displaystyle q_ {2} (х) = 0}$ уравнение становится первого порядка линейное обыкновенное дифференциальное уравнение.

Уравнение названо в честь Якопо Риккати (1676–1754).^[1]

В более общем смысле термин Уравнение Риккати используется для обозначения матричные уравнения с аналогичным квадратичным членом, которые встречаются в обоих непрерывное время и дискретное время линейно-квадратично-гауссовское управление. Их стационарная (нединамическая) версия называется алгебраическое уравнение Риккати.

Приведение к линейному уравнению второго порядка

В нелинейный Уравнение Риккати всегда можно привести ко второму порядку линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE):^[2]Если

${ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2} !}$

затем, где бы ${ displaystyle q_ {2}}$ отлична от нуля и дифференцируема, ${ displaystyle v = yq_ {2}}$ удовлетворяет уравнению Риккати вида

${ Displaystyle v '= v ^ {2} + R (x) v + S (x), !}$

куда ${ displaystyle S = q_ {2} q_ {0}}$ и ${ displaystyle R = q_ {1} + { frac {q_ {2} '} {q_ {2}}}}$, потому что

${ displaystyle v '= (yq_ {2})' = y'q_ {2} + yq_ {2} '= (q_ {0} + q_ {1} y + q_ {2} y ^ {2}) q_ {2} + v { frac {q_ {2} '} {q_ {2}}} = q_ {0} q_ {2} + left (q_ {1} + { frac {q_ {2}'} {q_ {2}}} right) v + v ^ {2}. !}$

Подстановка ${ displaystyle v = -u '/ u}$, следует, что ${ displaystyle u}$ удовлетворяет линейному ОДУ 2-го порядка

${ Displaystyle и '' - р (х) и '+ S (х) и = 0 !}$

поскольку

${ displaystyle v '= - (u' / u) '= - (u' '/ u) + (u' / u) ^ {2} = - (u '' / u) + v ^ {2} !}$

так что

${ displaystyle u '' / u = v ^ {2} -v '= - S-Rv = -S + Ru' / u !}$

и поэтому

${ displaystyle u '' - Ru '+ Su = 0. !}$

Решение этого уравнения приведет к решению ${ displaystyle y = -u '/ (q_ {2} u)}$ исходного уравнения Риккати.

Приложение к уравнению Шварца

Важным приложением уравнения Риккати является третий порядок Шварцево дифференциальное уравнение

${ Displaystyle S (вес): = (вес '' / ш ')' - (ш '' / ш ') ^ {2} / 2 = f}$

которое встречается в теории конформных отображений и однолистные функции. В этом случае ОДУ находятся в комплексной области, а дифференцирование осуществляется по комплексной переменной. (The Производная Шварца ${ Displaystyle S (ш)}$ обладает замечательным свойством инвариантности относительно преобразований Мёбиуса, т. е. ${ Displaystyle S ((aw + b) / (cw + d)) = S (w)}$ в любое время ${ displaystyle ad-bc}$ не равно нулю.) Функция ${ Displaystyle у = ш '' / ш '}$удовлетворяет уравнению Риккати

${ displaystyle y '= y ^ {2} / 2 + f.}$

По вышеизложенному ${ displaystyle y = -2u '/ u}$ куда ${ displaystyle u}$ является решением линейного ОДУ

${ displaystyle u '' + (1/2) fu = 0.}$

С ${ displaystyle w '' / w '= - 2u' / u}$, интеграция дает ${ Displaystyle ш '= С / и ^ {2}}$для некоторой постоянной ${ displaystyle C}$. С другой стороны, любое другое независимое решение ${ displaystyle U}$ линейного ОДУ имеет постоянный ненулевой вронскиан ${ displaystyle U'u-Uu '}$ что можно считать ${ displaystyle C}$ после масштабирования.

${ displaystyle w '= (U'u-Uu') / u ^ {2} = (U / u) '}$

так что уравнение Шварца имеет решение ${ displaystyle w = U / u.}$

Получение решений по квадратуре

Соответствие между уравнениями Риккати и линейными ОДУ второго порядка имеет и другие последствия. Например, если известно одно решение ОДУ 2-го порядка, то известно, что другое решение может быть получено с помощью квадратуры, то есть простого интегрирования. То же верно и для уравнения Риккати. Фактически, если одно конкретное решение ${ displaystyle y_ {1}}$ можно найти, общее решение получается как

${ displaystyle y = y_ {1} + u}$

Подстановка

${ displaystyle y_ {1} + u}$

в уравнении Риккати дает

${ displaystyle y_ {1} '+ u' = q_ {0} + q_ {1} cdot (y_ {1} + u) + q_ {2} cdot (y_ {1} + u) ^ {2} ,}$

и с тех пор

${ displaystyle y_ {1} '= q_ {0} + q_ {1} , y_ {1} + q_ {2} , y_ {1} ^ {2},}$

следует, что

${ displaystyle u '= q_ {1} , u + 2 , q_ {2} , y_ {1} , u + q_ {2} , u ^ {2}}$

или же

${ displaystyle u '- (q_ {1} +2 , q_ {2} , y_ {1}) , u = q_ {2} , u ^ {2},}$

который является Уравнение Бернулли. Для решения этого уравнения Бернулли необходима подстановка:

${ displaystyle z = { frac {1} {u}}}$

Подстановка

${ displaystyle y = y_ {1} + { frac {1} {z}}}$

непосредственно в уравнение Риккати дает линейное уравнение

${ Displaystyle z '+ (q_ {1} +2 , q_ {2} , y_ {1}) , z = -q_ {2}}$

Тогда набор решений уравнения Риккати определяется выражением

${ displaystyle y = y_ {1} + { frac {1} {z}}}$

где z - общее решение упомянутого выше линейного уравнения.

Смотрите также

• Линейно-квадратичный регулятор
• Алгебраическое уравнение Риккати
• Линейно-квадратично-гауссовское управление

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Хилле, Эйнар (1997) [1976], Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области., Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
• Нехари, Зеев (1975) [1952], Конформное отображение, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
• Полянин, Андрей Д .; Зайцев, Валентин Ф. (2003), Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-297-2
• Зеликин, Михаил Иванович (2000), Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, Берлин: Springer-Verlag
• Рид, Уильям Т. (1972), Дифференциальные уравнения Риккати, Лондон: Academic Press

внешняя ссылка

• «Уравнение Риккати», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Уравнение Риккати в EqWorld: мир математических уравнений.
• Дифференциальное уравнение Риккати в Mathworld
• Функция MATLAB для решения алгебраического уравнения Риккати с непрерывным временем.
• SciPy имеет функции для решения непрерывное алгебраическое уравнение Риккати и дискретное алгебраическое уравнение Риккати.