WikiDer > Parabolische Konstante

Abbildung 1. Parabel mit Fokus f, Direktive r und Latus Rektum DE.

Das parabolische Konstante ist ein mathematische Konstante (ähnlich den Zahlen ${Anzeigestil pi}$ und ${displaystyle e}$).^[1]

Die nachfolgend mit indicated bezeichnete Zahl ${Anzeigestil P}$, wird für eine (zufällige) Parabel definiert als die Verhältnis zwischen den Bogenlänge${displaystyle s}$ des Parabelsegments bestimmt durch die Latus Rektum, und die (Parabel)Parameter${displaystyle p}$; So:

${displaystyle P={s über p}}$

Latus Rektum und Parameter

Es Latus Rektum (lat. latus = seitlich, rectum < rectus = gerade, aufrecht) ist der Akkord von a of Kegelschnitt die in der (oder einem) Mittelpunkt steht senkrecht auf dem Symmetrieachse durch diesen Brennpunkt.^[2][3]

Das Parabelparameter, oder kurz Parameter, allgemein bezeichnet mit ${displaystyle p}$, ist gleich dem Abstand vom Brennpunkt ${Anzeigestil F}$ von der Parabel zur Richtlinie ${displaystyle r}$; siehe das Liniensegment ${displaystyle FR}$ in Abbildung 1.

Die allgemeine Vergleich der Parabel, die den . darstellt ja-axis wenn Symmetrieachse hat, der Punkt${Anzeigestil O=(0,0)}$ als Spitze und Spitze ${displaystyle F=(0,{ extstyle {1 über 2}}p)}$ als Schwerpunkt ist:

${displaystyle y={frac {1}{2p}}{{x}^{2}}}$

Siehe auch Brennpunkt und Leitlinie einer Parabel.

Berechnung der parabolischen Konstante

schneidet der Latus rectum die Parabel in den Punkten ${Anzeigestil D=(t,0)}$ und ${Anzeigestil E=(-t,0)}$, dann so:

${displaystyle P={frac {{ ext{Bogenlänge}}(EOD)}{|FR|}}={ frac {1}{p}}int _{-t}^{t}{{sqrt {1 { { ({ frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}})}^{2}}}}mathrm {d} x}={ frac {1}{p}}int _{-t} ^ {t}{{sqrt {1 { frac {{x}^{2}}{{p}^{2}}}}}mathrm {d} x}}$

Mit der Substitution ${Anzeigestil x=pcdot t}$ ist ${displaystyle mathrm {d} x=p,mathrm {d} t}$. Und damit:

${displaystyle P={ extstyle {1 über p}}int _{-,1}^{1}{{sqrt {1 {t^{2}}}},cdot ,p,,mathrm {d} t}= int _{-,1}^{1}{{sqrt {1 {t^{2}}}}mathrm {d} t}=2int _{0}^{1}{{sqrt {1 {t^{ 2}}}}Mathematik {d} t}}$

Und dies zeigt, dass der Wert von ${Anzeigestil P}$unabhängig ist der Parameter ${displaystyle p}$ der Parabel.
Mit anderen Worten, der Wert von ${Anzeigestil P}$ ist für jeder Parabel gleich.
Dies folgt übrigens auch daraus, dass alle Parabeln mit der sogenannten Einheitsparabel ähnlich sind ${displaystyle y={{x}^{2}}}$ bei welchem ${Anzeigestil 2p=1}$.^[4]

Die weitere Berechnung des Integrals ergibt dann mit Liste der Primitiven irrationaler Funktionen:

${displaystyle P=left[t{sqrt {1 {{t}^{2}}}} ln(t {sqrt {1 {{t}^{2}}}})ight]_{ 0}^{ 1 }={Quadrat {2}} ln(1 {Quadrat {2}})ca. 2,29558714939}$

Anwendung

Abbildung 2. Teilrotation von ${Anzeigestil y=f(x)={e^{x}}}$ um die X-Asche.

Ist der Teil des Graphen von Funktion${Anzeigestil y=f(x)={e^{x}}}$ das links davon ja-Asche befindet sich um die X-Asche gedreht, dann die Fläche ${Anzeigestil M}$ des Mantels der Körper der Revolution werden ausgedrückt in ${Anzeigestil P}$.

Siehe Abbildung 2. Darin ist (ungefähr) für den Teil des Mantels zwischen den Punkten ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ für kleine ${Anzeigestil Delta x}$:

${Anzeigestil Delta M=2pi,cdot,f(x),cdot,{ext{Bogenlänge}}(AB)}$

Also das für ${Anzeigestil M}$ gilt:

${displaystyle M=2pi int _{-,infty }^{0}{{{e}^{x}}{sqrt {1 {{(({{e}^{x}})')}^{2 }}}}}mathrm {d} x=2pi int _{-,infty }^{0}{{{e}^{x}}{sqrt {1 {{e}^{2x}}}}mathrm { d} x}}$

Mit der Substitution ${displaystyle {{e}^{x}}=t}$, bei welchem${displaystyle {{e}^{x}}mathrm {d} x=mathrm {d} t}$, ist dann:

${displaystyle M=2pi int _{0}^{1}{{sqrt {1 {{t}^{2}}}}mathrm {d} t=2pi ,cdot ,{ frac {1}{2}}P =pi P}}$

Transzendenz

Gestell. ${Anzeigestil P}$ ist ein transzendente Zahl.

Beweise (aus der unpassend). Paar ${displaystyle P=surd 2 ln(1 surd 2)}$ ist algebraisch. Dann auch ${displaystyle P'=P-surd 2=ln(1 surd 2)}$ algebraisch. Aber laut Lindemann-Weierstrass-Theorem ist dann ${displaystyle {{e}^{P'}}=1 surd 2}$ transzendent, aber das ist offensichtlich nicht der Fall.
So ist ${Anzeigestil P}$ transzendent. Was gab es zu beweisen.

Siehe auch

• Kegelschnitte
• OEIS (Die Online-Enzyklopädie der Integer-Sequenzen): A103710
• Liste der Integrale irrationaler Funktionen
• Liste der Integrale von Exponentialfunktionen
• Integration durch Substitution