WikiDer > Lichtbogenlänge

Unter dem Bogenlänge versteht sich im Geometrie das Länge von a (Teil von a) Kurve.

Formel

Für ein kleines Stück ${Anzeigestil Deltas}$ die Bogenlänge kann mit dem Satz des Pythagoras angenähert werden

Für eine Kurve in der Ebene, gegeben durch die Koordinatenfunktionen ${Anzeigestil x(t)}$ und ${Anzeigestil y(t)}$ die Bogenlänge wird bestimmt durch a unendlich klein ein kleines Stück ${displaystyle mathrm {d}s}$ vom krummen te integrieren. Für ein kleines Stück ${Anzeigestil Deltas}$ Gilt in guter Näherung nach Satz des Pythagoras:

${Anzeigestil Delta s^{2}ungefähr Delta x^{2} Delta y^{2}}$.

Im Limit ist:

${displaystyle mathrm {d} s^{2}=mathrm {d} x^{2} mathrm {d} y^{2}}$,

so dass:

${displaystyle mathrm {d} s={sqrt {left({frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}ight)^{2} left({frac {mathrm {d} y}{mathrm { d} t}}ight)^{2}}}mathrm {d} t}$,

vorausgesetzt natürlich, dass die Derivate existieren.

Bei einer expliziten Funktion ${Anzeigestil y(x)}$ wird das:

${displaystyle mathrm {d} s={sqrt {1 left({frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}ight)^{2}}}mathrm {d} x}$,

und in Polarkoordinaten:

${displaystyle mathrm {d} s={sqrt {ho ^{2}( heta ) left({frac {mathrm {d} ho }{mathrm {d} heta }}ight)^{2}}}mathrm {d} heta }$,

Die Bogenlänge ${displaystyle s(t_{0})}$ von der Kurve zum Punkt ${displaystyle t=t_{0}}$ wird:

${displaystyle s(t_{0})=int _{0}^{t_{0}}{sqrt {left({frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}ight)^{2} left({frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} t}}ight)^{2}}}mathrm {d} t}$

Betrifft die Kurve den Graphen von a (differenzierbar) Funktion${Anzeigestil f,}$ dann kann diese Formel durch die Variable umgeschrieben werden ${Anzeigestil x}$ als Parameter. Die Bogenlänge ${Anzeigestil L}$ von ${Anzeigestil x=a}$ bis um ${Anzeigestil x=b}$ wird:

${displaystyle L=int _{a}^{b}{sqrt {1 (f'(x))^{2}}}mathrm {d} x}$.

Auch in den einfachsten Fällen existiert dieses Integral oft nicht in geschlossener Form und muss numerisch integriert werden.

Verallgemeinerungen

Höhere Abmessungen

Die obige Definition lässt sich nahezu unverändert auf Kurven im dreidimensionalen Raum oder auch allgemein übertragen ${displaystyle n}$-dimensionaler euklidischer Raum:

${displaystyle f:[0,t_{0}] oder mathbb {R} ^{n}:tmapsto f(t)}$

Die Länge der Kurve ist wieder das Integral des Geschwindigkeitsvektors:

${displaystyle L=int _{0}^{t_{0}}|f'(t)|mathrm {d} t}$

Andere Normen

Diese Definition gilt auch für allgemeinere Standards${Anzeigestil |.|}$, und statt ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ wir können sogar einen allgemeinen normierten Raum haben ${Anzeigestil X}$ nehmen (möglicherweise, aber nicht unbedingt, ein reelles oder komplexes Banach-Raum) - lieferte eine klare Vorstellung von Unterscheidbarkeit wird eingesetzt.

Bogenlänge in gekrümmten Räumen

Eine andere Verallgemeinerung besteht darin, den euklidischen Raum durch einen gekrümmten zu ersetzen ${displaystyle n}$-dimensional glatte Sorte. Die Ableitung ${displaystyle f'(t)}$ ist dann ein Vektor im Berührungsraum, und seine Länge wird durch die metrischer Tensor${Displaystil g:}$

${displaystyle |f'(t)|={sqrt {sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}{partial f^{i} über partielle t}{partielle f^{j} über partielle t}}}}$

oder eine Variante davon, bei der das Wurzelzeichen einen Absolutwert oder je nach Fall ein Minuszeichen enthält.

Parametrierung nach Bogenlänge

Wenn eine Kurve durch eine differenzierbare Funktion definiert ist ${displaystyle f}$ eines reellen Parameters ${Anzeigestil t,}$ dann nennen wir diese Parametrierung regulär als Ableitung von ${displaystyle f}$ nirgendwo wird im betrachteten Intervall Null.

Für eine regelmäßige Kurve ist die Funktion

${displaystyle s:[0,t_{0}] oder mathbb {R} :tmapsto int _{0}^{t}|f'(r)|mathrm {d} r}$

differenzierbar, streng steigend und seine Ableitung ${Anzeigestil s'(r)=|f'(r)|}$ ist überall streng positiv. Seine Umkehrfunktion

${displaystyle s^{-1}:[0,s(t_{0})] oder mathbb {R} }$

ist ebenfalls streng steigend und mit positiver Ableitung differenzierbar. Das heißt, wir haben die ursprüngliche Kurve ${displaystyle f}$ können umparametrieren in Bezug auf die Bogenlänge ${Anzeigestil s.}$ Die neue Kurve

${displaystyle g:[0,s(t_{0})] o X:rmapsto f(s^{-1}(r))}$

hat die gleiche Bildersammlung in ${Anzeigestil X}$ wie die ursprüngliche Kurve ${Anzeigestil f,}$ aber sie hat auch die zusätzliche Eigenschaft, dass sie Geschwindigkeitsvektor überall hat die Länge eins:

${displaystyle |g'(r)|=|f'(s^{-1}(r)).(mathrm {d} s^{-1}/mathrm {d} r)|=links|{f' (s^{-1}(r)) über (mathrm {d} s/mathrm {d} t)(s^{-1}(r))}ight|={|f'(s^{-1 }(r))| über |f'(s^{-1}(r))|}=1}$

Siehe auch

Bogen (Geometrie) zur Berechnung der Bogenlänge von a Kreis.