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Eine Parabel mit Gleichung y = x²

EIN Parabel, aus dem Griechischen παραβολή, Vergleich, ist ein ebenKurve zweiten Grades dass die Ort ist von Punkten die gleiche Entfernung von einer gegebenen Linie, der Leitlinie, und einem gegebenen Punkt, der Mittelpunkt. Die mathematische Gleichung, die eine Parabel beschreibt, ist zweiten Grades. Eine Parabel kann auch als Kegelschnitt deren Schnittebene parallel zu einer der Kegel beschreibenden ist.

Die einfachste Gleichung einer Parabel ist ${Anzeigestil y=x^{2}}$. Der Brennpunkt dieser Parabel ist der Punkt ${displaystyle(0,{ frac {1}{4}})}$ und die Direktive ist die Linie ${displaystyle y=-{ frac {1}{4}}{}}$.

Geschichte

Parabolkompass entworfen von Leonardo da Vinci

Die früheste bekannte Arbeit über Kegelschnitte ist von Menächmus im vierten Jahrhundert v. Er entdeckte einen Weg, das Problem der den Würfel verdoppeln mit Parabeln gelöst werden. Die Lösung erfüllt daher nicht die Anforderungen für Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Die von einer Parabel und einem Liniensegment eingeschlossene Fläche, das sogenannte Parabelsegment, im dritten Jahrhundert v. berechnet von Archimedes mit dem Erschöpfungsmethode In seiner Arbeit Die Quadratur des Parabolabos. Der Name Parabel Entstammt aus Apollonius, der viele Eigenschaften von Kegelschnitten entdeckte. Es war Pappus von Alexandria der die Eigenschaft der Parabel mit Fokus und Leitlinie entdeckt hat.

Mathematische Definition

In der flachen Ebene

Parabel im Flugzeug

Die Parabel als Kegelschnitt

Die Parabel ist der Querschnitt eines Kegels und einer flachen Ebene ein Kegelschnitt.

Eine Parabel ist der Ort von Punkten, die den gleichen Abstand haben ${displaystyle d}$ zu einer bestimmten Zeile haben ${displaystyle m}$, die Richtlinie und ein bestimmter Punkt ${Anzeigestil F}$, es Mittelpunkt. Die Parabel ist die Konfliktlinie zwischen Leitlinie und Brennpunkt.

Die Parabel wird durch eine quadratische Gleichung beschrieben. Für eine Parabel mit horizontaler Hilfslinie ${Anzeigestil y=-c}$ (bei welchem ${Anzeigestil c}$ ist eine Konstante) und Brennpunkt ${Anzeigestil F=(0,c)}$, die durch die Funktion . beschrieben wird ${Anzeigestil y=f(x)}$ kann wie folgt eingesehen werden. Die Entfernung vom Punkt ${Anzeigestil (x,f(x))}$ bis der Brennpunkt gleich ist

${displaystyle {sqrt {x^{2} (c-f(x))^{2}}}}$

und der Abstand zur Leitlinie

${Anzeigestil |f(x)c,|}$.

Diese Abstände sind gleich, also

${displaystyle {sqrt {x^{2} (c-f(x))^{2}}}=|f(x) c,|}$,

woraus folgt:

${displaystyle f(x)={frac {1}{4c}}x^{2}}$

Hinweis. Für die Zahl ${Displaystil 4c}$ wird oft in der mathematischen Literatur erwähnt ${Displaystil 2p}$ geschrieben. Die Nummer ${displaystyle p}$ ist dann das sogenannte Parameter der Parabel.

Im dreidimensionalen Raum

Die Parabel ist der Querschnitt von a eben jetzt sofort Kegel, daher ist die Parabel a Kegelschnitt ist, siehe die Abbildungen.

Kartesische Gleichung

Das Diagramm einer quadratischen Funktion, die die folgende allgemeine Gleichung hat:

${displaystyle f(x)=ax^{2} bx c}$

ist eine Parabel.

wenn ${Anzeigestil a>0}$ wir sprechen von einer Talparabel, die konvexe Seite zeigt nach unten. wenn ${displaystyle a<0}$ wir haben es mit einer Bergparabel zu tun, die konvexe Seite zeigt nach oben. Die Nullstellen dieser Parabel sind gegeben durch Wurzelformel.

Diese Formel kann auch geschrieben werden als:

${Anzeigestil f(x)=k(x-e)^{2} f}$

bei welchem

${Anzeigestil k=a}$

${displaystyle e={frac {-b}{2a}}}$

${displaystyle f={frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$

Die Symmetrieachse der Parabel ist die Gerade: ${displaystyle x=e}$

Das Minimum oder Maximum der Parabel ist der Punkt ${Anzeigestil (e,f)}$

Durch Verschieben der Achsen erhält man die Standardform:

${displaystyle f(x)=ccdot x^{2}}$

Polargleichung

Eine Parabel mit dem Ursprung als Brennpunkt und einem Negativ ${Anzeigestil x}$-Koordinate der Spitze, wird im angezeigt Polar Koordinaten${displaystyle r}$ und ${Anzeigestil-Heta}$ beschrieben durch die Gleichung:

${Anzeigestil r(1-cos heta)=d}$

Darin ist ${displaystyle d}$ der Abstand vom Brennpunkt zu einem der beiden Punkte der Parabel auf dem ${displaystyle y}$-Asche.

oben

Ein schräg nach oben gerichteter Wasserstrahl aus einer Fontäne bildet unter dem Einfluss der Schwerkraft eine Wasserparabel.

Die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel mit Gleichung ${displaystyle y=ax^{2} bx c}$ sein

${displaystyle left({frac {-b}{2a}},{frac {4ac-b^{2}}{4a}}ight)}$

wenn ${Anzeigestil a>0}$, bei einer Talparabel ist dies ein Minimum; wenn ${displaystyle a<0}$, bei einer Bergparabel ist es ein Maximum.

Schwerpunkt und Leitlinie

Der Fokus ${Anzeigestil F}$ einer Parabel mit Gleichung ${displaystyle y=ax^{2} bx c}$ hat als Koordinaten:

${displaystyle F=left({frac {-b}{2a}};c-{frac {b^{2}-1}{4a}}ight)}$

Die begleitende Richtlinie ${displaystyle m}$ hat als vergleich

${displaystyle y=c-{frac {b^{2} 1}{4a}}.}$

Paraboloid

Die dreidimensionale Figur, die entsteht, wenn eine Parabel um ihre Achse gedreht wird, heißt a Paraboloid.

Anwendungen

Das Teilchen folgt einer parabolischen Bahn

• EIN Kugelbahn ist eine parabolische Bahn, sofern die Erdkrümmung, die Erdrotation und die Luftreibung vernachlässigbar sind. Die maximale Höhe und Entfernung hängen vom Startwinkel ab, auch bekannt als Elevation erwähnt, in der Abbildung ${Anzeigestil phi}$. Die Schussentfernung ist in diesem theoretischen Fall maximal, wenn ${Anzeigestil phi}$ entspricht 45°.
• Zum Beispiel ist die Bahn eines Satelliten an der Sonne vorbei, deren Geschwindigkeit so groß ist, dass er nicht in das Schwerefeld der Sonne zurückkehrt, eine parabolische Bahn.
• Für eine beliebige Parabel, die sogenannte parabolische Konstante${Anzeigestil P}$ wie folgt definiert:

${displaystyle P={frac {s}{p}}}$

Darin ist ${displaystyle s}$ das Bogenlänge des Parabelsegments bestimmt durch die Latus Rektum und der Parameter ${displaystyle p}$ der Parabel.

${Anzeigestil P}$ kann bei der Berechnung einiger spezieller Integrale verwendet werden.^[1]

Hinweis

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