WikiDer > Parallelogrammgesetz

Ein Parallelogramm. Das Seiten blau und die Diagonalen rot dargestellt.

In dem Mathematik gehört zur einfachsten Form des Parallelogrammgesetz zur elementaren Geometrie. Sie gibt an, dass die Summe der Quadrate der Längen der vier Seiten von a Parallelogramm gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Diagonalen. Verwenden Sie die Notation in der Abbildung rechts, die Seiten ${Anzeigestil AB,,BC,,CD,,DA}$. Aber da im euklidische Geometrie in einem Parallelogramm sind die beiden gegenüberliegenden Seiten notwendigerweise gleich, so dass ${Anzeigestil AB=CD}$ und ${displaystyle BC=DA}$, kann das Parallelogrammgesetz formuliert werden als

${displaystyle 2AB^{2} 2BC^{2}=AC^{2}BD^{2}}$

Falls das Parallelogramm a . ist Rechteck d.h. die beiden Diagonalen sind gleich lang ${Anzeigestil AB=BD}$,

${Displaystil 2AB^{2} 2BC^{2}=2AC^{2}}$

und reduziert diese Aussage auf den Satz des Pythagoras. Für den allgemeinen Viereck mit vier Seiten, die nicht unbedingt gleich sind,

${displaystyle AB^{2} BC^{2} CD^{2} DA^{2}=AC^{2} BD^{2} 4x^{2}}$

in welchem ${Anzeigestil x}$ ist die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet. Für ein Parallelogramm lässt sich aus dem Diagramm ableiten, dass ${Anzeigestil x=0}$, in diesem Fall reduziert sich die allgemeine Formel auf das Parallelogrammgesetz.

Das Parallelogrammgesetz in inneren Produkträumen

Vektoren, die am Parallelogrammgesetz beteiligt sind.

In einem standardisierter Raum die Formulierung des Parallelogrammgesetzes ist eine Gleichung, die de Standards bezieht sich aufeinander:

${displaystyle 2|x|^{2} 2|y|^{2}=|x y|^{2} |x-y|^{2}}$

In einem interner Produktraum der Standard wird durch die Verwendung der internes Produkt:

${displaystyle |x|^{2}=langle x,xangle }$

Als Konsequenz dieser Definition ist das Parallelogrammgesetz in einem Punktproduktraum eine algebraische Identität, die sich leicht anhand der Eigenschaften des Punktprodukts feststellen lässt:

${displaystyle |x y|^{2}=langle x y,x yangle =langle x,xangle langle x,yangle langle y,xangle langle y,yangle }$

${displaystyle |x-y|^{2}=langle x-y,x-yangle =langle x,xangle -langle x,yangle -langle y,xangle langle y,yangle }$

Diese beiden hinzufügen Ausdrücke gibt:

${displaystyle |x y|^{2} |x-y|^{2}=2langle x,xangle 2langle y,yangle =2|x|^{2} 2|y|^{2}}$

wenn ${Anzeigestil x}$aufrecht auf ${displaystyle y}$ Zustand, ist ${displaystyle langle x,yangle =0}$ und gibt die obige Gleichung für die Norm einer Summe:

${displaystyle |x y|^{2}=langle x,xangle langle x,yangle langle y,xangle langle y,yangle =|x|^{2} |y|^{2}}$

was den Satz des Pythagoras impliziert.

Externe Links

• (und) Das Parallelogrammgesetz einfach bewiesen unter web.archive.org
• (und) Das Parallelogrammgesetz: ein Beweis ohne Worte auf Cut-The-Knoten
• (und) Beweis des Parallelogrammgesetzes auf Planet Math